Encontre a área limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A pergunta é para encontrar a área limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x + 2 $. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração, para achar essa área. Basicamente, vamos identificar onde as curvas se cruzam e então calcular a integral que representa a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso acontece quando $ x^{2} = x + 2 $. Então, vamos resolver essa equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} - x - 2 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = -2 $. Substituindo esses valores:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se intersectam nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 2 $, vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Podemos fazer isso avaliando os valores das funções em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, em $ x = 0 $:
Como $ y = x + 2 $ é maior que $ y = x^{2} $ nesse intervalo, vamos subtrair a função de baixo da de cima para encontrar a área.
Passo 5
A área $ A $ entre as curvas de $ x = -1 $ a $ x = 2 $ é dada pela integral da diferença das funções:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral nos limites:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 8
Agora, subtraímos o resultado para $ x = -1 $ do resultado para $ x = 2 $:
Resposta
A área limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x + 2 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades quadradas.