Encontre a área limitada pelas curvas y=x^2 e y=x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A pergunta é para encontrar a área limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x + 2 $. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração, para achar essa área. Basicamente, vamos identificar onde as curvas se cruzam e então calcular a integral que representa a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso acontece quando $ x^{2} = x + 2 $. Então, vamos resolver essa equação:
x^2 = x + 2

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} - x - 2 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x^2 - x - 2 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = -2 $. Substituindo esses valores:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos duas soluções:
a = 1

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se intersectam nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 2 $, vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Podemos fazer isso avaliando os valores das funções em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, em $ x = 0 $:
x = -1
Como $ y = x + 2 $ é maior que $ y = x^{2} $ nesse intervalo, vamos subtrair a função de baixo da de cima para encontrar a área.

Passo 5

A área $ A $ entre as curvas de $ x = -1 $ a $ x = 2 $ é dada pela integral da diferença das funções:
A
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x = -1

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (-x^2) , dx = -x^33
integral x , dx = x^22
integral 2 , dx = 2x
Então, a integral fica:
A = [ -x^33 + x^22 + 2x ]-1^2

Passo 7

Vamos calcular a integral nos limites:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = -1 $:
-(2)^33 + (2)^22 + 2(2) = -83 + 42 + 4 = -83 + 2 + 4 = -83 + 6 = 103

Passo 8

Agora, subtraímos o resultado para $ x = -1 $ do resultado para $ x = 2 $:
x = -1

Resposta

A área limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x + 2 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades quadradas.

Exercícios relacionados