Resolva a equação diferencial por separação de variável.
d yd x=1+2 y^2y sen x

Passo 1

A equação diferencial dada é dydx=1+2y^2ysin x. O conteúdo aqui é equação de primeira ordem separável: vamos precisar fazer separação de variáveis e integrar cada lado.

Passo 2

Para separar variáveis, multiplicamos ambos os lados por tfracy1+2y^2 e por dx, obtendo
y1+2y^2,dy=1sin x,dx
ou seja
y1+2y^2,dy=csc x,dx .

Passo 3

Agora integramos cada membro. No lado esquerdo, fazemos a substituição u=1+2y^2 (logo du=4y,dy), ficando
integraly1+2y^2,dy=14integralduu=14ln|u|+C1=14ln|1+2y^2|+C1
No lado direito,
integralcsc x,dx=lnl|tantfracx2r|+C2

Passo 4

Igualando as integrais e reunindo as constantes numa só, temos
14ln|1+2y^2|=lnl|tantfracx2r|+C,
multiplicando por 4 e exponenciando,
1+2y^2=Ktan^4l(tfracx2r), K=e^4C>0
Isolando y, a solução geral é
y=pmraizKtan^4l(tfracx2r)-12

Resposta

A solução geral é
1+2y^2=Ktan^4l(tfracx2r), K>0, \nou equivalentemente
y(x)=pmraizKtan^4l(tfracx2r)-12

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