Encontre a área
da pétala r=cos 5 theta, 0 <= theta <= 2 pi;

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a área de uma pétala da curva polar dada por , onde . Vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares para chegar na resposta. Precisamos entender como calcular áreas em coordenadas polares e aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma região definida em coordenadas polares. A fórmula para a área A = 12 integrala^b r^2 , dtheta de uma curva polar entre os ângulos e é:
No nosso caso, , então precisamos integrar nesse intervalo de .

Passo 3

Antes de tudo, precisamos identificar o intervalo de De que corresponde a uma única pétala da curva. A curva é uma rosa com 5 pétalas porque o coeficiente de é 5 (um número ímpar). Cada pétala ocupa um intervalo de:
Então, para uma pétala, vamos considerar variando de a .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da área:
A = 12 integral0^pi5 (cos 5theta)^2 , dtheta
Para facilitar a integração, usamos uma identidade trigonométrica que transforma cos^2 x = 1 + cos 2x2 :
A = 12 integral0^pi5 1 + cos 10theta2 , dtheta = 14 integral0^pi5 (1 + cos 10theta) , dtheta
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 5

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral (1) , dtheta = theta
integral cos 10theta , dtheta = sin 10theta10
Substituindo de volta na expressão da área:
A = 14 [ theta + sin 10theta10 ]0^pi5

Passo 6

Agora, avaliamos os limites de integração:
Para theta = pi5 :
sin 10theta = sin 2pi = 0
theta = 0
Para sin 0 = 0 :
A = 14 ( pi5 + 0 - 0 - 0 ) = pi20
Substituindo:

Resposta

A área de uma pétala da curva é unidades quadradas.

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