Encontre a área
da pétala
;
da pétala
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a área de uma pétala da curva polar dada por
, onde
. Vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares para chegar na resposta. Precisamos entender como calcular áreas em coordenadas polares e aplicar a fórmula correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma região definida em coordenadas polares. A fórmula para a área
de uma curva polar entre os ângulos
e
é:
No nosso caso,
, então precisamos integrar
nesse intervalo de
.
Passo 3
Antes de tudo, precisamos identificar o intervalo de
que corresponde a uma única pétala da curva. A curva
é uma rosa com 5 pétalas porque o coeficiente de
é 5 (um número ímpar). Cada pétala ocupa um intervalo de:
Então, para uma pétala, vamos considerar
variando de
a
.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da área:
Para facilitar a integração, usamos uma identidade trigonométrica que transforma
:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 5
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Substituindo de volta na expressão da área:
Passo 6
Agora, avaliamos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Resposta
A área de uma pétala da curva
é
unidades quadradas.