A temperatura em uma chapa circular de raio c é determinada pelo problema de contorno:
Resolva em relação a
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a evolução da temperatura
numa chapa circular de raio
, sujeita à condição de contorno
e condição inicial
. O conteúdo é a equação do calor em coordenadas radiais, e vamos precisar aplicar separação de variáveis e usar funções de Bessel.
Passo 2
A partir de
, substituímos na PDE
e separamos as variáveis para obter duas ODEs:
Começa o passo radial. Igualamos , levando à equação de Bessel de ordem zero:
A condição impõe
, o que faz surgir valores próprios
, onde
é o
-ésimo zero de
.
O passo temporal dá , cuja solução é
.
Começa o passo radial. Igualamos
A condição
O passo temporal dá
Passo 3
A solução geral como superposição fica
Para determinar os coeficientes , expandimos
usando a ortogonalidade de Bessel com peso
.
Usando a ortogonalidade
obtém-se
e finalmente montamos
Para determinar os coeficientes
Usando a ortogonalidade
obtém-se
e finalmente montamos
Passo 4
Resposta
onde