A temperatura em uma chapa circular de raio c é determinada pelo problema de contorno:
& k(partial^2 upartial r^2+1r partial upartial r)=partial upartial t, 00 & u(c, t)=0, t>0 & u(r, 0)=f(r), 0
Resolva em relação a u(r, t).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a evolução da temperatura u(r,t) numa chapa circular de raio c, sujeita à condição de contorno u(c,t)=0 e condição inicial u(r,0)=f(r). O conteúdo é a equação do calor em coordenadas radiais, e vamos precisar aplicar separação de variáveis e usar funções de Bessel.

Passo 2

A partir de u(r,t)=R(r)T(t), substituímos na PDE kl(R''+tfrac1rR'r)=T'/(T)R e separamos as variáveis para obter duas ODEs:
Começa o passo radial. Igualamos R''(r)+1rR'(r)R(r)=-lambda, levando à equação de Bessel de ordem zero:
A condição u(c,t)=0 impõe R(c)=0, o que faz surgir valores próprios lambdan=(j0,n/c)^2, onde j0,n é o n-ésimo zero de J0.
O passo temporal dá T'(t)+klambdanT(t)=0, cuja solução é Tn(t)=e^-klambdan t=e^-k(j0,n^2/c^2)t.

Passo 3

A solução geral como superposição fica
Para determinar os coeficientes An, expandimos f(r)=u(r,0)=sumn=1^infty An J0l(j0,ntfrac r cr) usando a ortogonalidade de Bessel com peso r.
Usando a ortogonalidade
obtém-se
e finalmente montamos

Passo 4

Resposta

u(r,t)=sumn=1^inftyAn,J0l(tfracj0,nc,rr)expl(-ktfracj0,n^2c^2,tr),
onde
An=2c^2,J1^2(j0,n)integral0^c r,f(r),J0l(tfracj0,nc,rr),dr e j0,n é o n-ésimo zero de J0.

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