Encontre a área
da regiào compreendida entre o eixo
e
gráfico de
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área $ A $ da região delimitada pelo eixo $ x $ e o gráfico da função $ f(x) = x^{2} - 5x + 6 $, para $ 0 \leqslant x \leqslant 4 $. Para isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função cruza o eixo $ x $. Isso significa encontrar os valores de $ x $ onde $ f(x) = 0 $. Então, vamos resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática $ x^{2} - 5x + 6 = 0 $, podemos fatorar:
Então, as raízes são $ x = 2 $ e $ x = 3 $. Isso significa que a função cruza o eixo $ x $ nesses pontos.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função em cada intervalo definido pelas raízes encontradas: de $ 0 $ a $ 2 $, de $ 2 $ a $ 3 $, e de $ 3 $ a $ 4 $. Precisamos saber se a função está acima ou abaixo do eixo $ x $ em cada intervalo para calcular a área corretamente.
Passo 5
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo para verificar o sinal de $ f(x) $:
- Para $ 0 \leq x < 2 $, escolha $ x = 1 $:
- Para $ 2 < x < 3 $, escolha $ x = 2.5 $:
- Para $ 3 < x \leq 4 $, escolha $ x = 4 $:
Isso significa que a função está acima do eixo $ x $ nos intervalos $ [0, 2] $ e $ [3, 4] $, e abaixo do eixo $ x $ no intervalo $ [2, 3] $.
Passo 6
A área total $ A $ é a soma das áreas em que a função está acima do eixo $ x $, menos a área quando está abaixo. Para isso, usamos a integral definida:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de $ 0 $ a $ 2 $:
Calculando em $ x = 2 $:
E em $ x = 0 $:
Portanto, a primeira integral vale $ \frac{14}{3} $.
Passo 8
Agora, a integral de $ 2 $ a $ 3 $:
Calculando em $ x = 3 $:
E em $ x = 2 $:
Portanto, a segunda integral vale $ 4,5 - \frac{14}{3} = \frac{13,5 - 14}{3} = -\frac{0,5}{3} = -\frac{1}{6} $. Como a área é sempre positiva, tomamos o valor absoluto: $ \frac{1}{6} $.
Passo 9
Por fim, a integral de $ 3 $ a $ 4 $:
Calculando em $ x = 4 $:
E em $ x = 3 $:
Portanto, a terceira integral vale $ \frac{16}{3} - 4,5 = \frac{16}{3} - \frac{9}{2} = \frac{32 - 27}{6} = \frac{5}{6} $.
Passo 10
Agora, somamos todas as áreas:
Resposta
A área $ A $ da região é $ \frac{17}{3} $ unidades de área.