Encontre as equaciós das retas t1 e t2 tangentes ao gráfico de f(x)=x^2+3 x+1 e que passam pelos pontos (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar as equações das retas $ t_1 $ e $ t_2 $ que são tangentes ao gráfico da função $ f(x) = x^2 + 3x + 1 $ e que passam pelo ponto $ (1, 1) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas para achar as inclinações das retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^2 + 3x + 1 $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
f(x) = x^2 + 3x + 1

Passo 3

Sabemos que a reta tangente toca a curva em exatamente um ponto. Vamos chamar o ponto de tangência de $ (a, f(a)) $. A inclinação dessa reta será $ f’(a) = 2a + 3 $.

Passo 4

A equação da reta tangente naquela posição pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
y - f(a) = f'(a)(x - a)
Substituindo $ f(a) $ e $ f’(a) $:
f(a)

Passo 5

Como essa reta tangente também passa pelo ponto $ (1, 1) $, vamos substituir $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na equação da reta:
(1, 1)
Simplificando:
x = 1

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ a $:
a
- a^2 - 3a = 2a(1) - 2a^2 + 3(1) - 3a
Levando todos os termos para um lado:
- a^2 - 3a = 2a - 2a^2 + 3 - 3a
- a^2 - 3a - 2a + 2a^2 - 3 + 3a = 0

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática $ a^2 - 2a - 3 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
a^2 - 2a - 3 = 0
Então, temos duas soluções:
a = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42

Passo 8

Agora que temos os valores de $ a $, vamos encontrar as equações das retas tangentes.
Para $ a = 3 $:
  • $ f(a) = 3^2 + 3(3) + 1 = 9 + 9 + 1 = 19 $
  • $ f’(a) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 $
  • Equação da reta: $ y - 19 = 9(x - 3) $ => $ y = 9x - 27 + 19 $ => $ y = 9x - 8 $
Para $ a = -1 $:
  • $ f(a) = (-1)^2 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $
  • $ f’(a) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 $
  • Equação da reta: $ y - (-1) = 1(x - (-1)) $ => $ y + 1 = x + 1 $ => $ y = x $

Resposta

As equações das retas tangentes são:
t1: y = 9x - 8
t2: y = x

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