Encontre as equaciós das retas
e
tangentes ao gráfico de
e que passam pelos pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar as equações das retas $ t_1 $ e $ t_2 $ que são tangentes ao gráfico da função $ f(x) = x^2 + 3x + 1 $ e que passam pelo ponto $ (1, 1) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas para achar as inclinações das retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^2 + 3x + 1 $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 3
Sabemos que a reta tangente toca a curva em exatamente um ponto. Vamos chamar o ponto de tangência de $ (a, f(a)) $. A inclinação dessa reta será $ f’(a) = 2a + 3 $.
Passo 4
A equação da reta tangente naquela posição pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo $ f(a) $ e $ f’(a) $:
Passo 5
Como essa reta tangente também passa pelo ponto $ (1, 1) $, vamos substituir $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na equação da reta:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ a $:
Levando todos os termos para um lado:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática $ a^2 - 2a - 3 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 8
Agora que temos os valores de $ a $, vamos encontrar as equações das retas tangentes.
Para $ a = 3 $:
- $ f(a) = 3^2 + 3(3) + 1 = 9 + 9 + 1 = 19 $
- $ f’(a) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 $
- Equação da reta: $ y - 19 = 9(x - 3) $ => $ y = 9x - 27 + 19 $ => $ y = 9x - 8 $
Para $ a = -1 $:
- $ f(a) = (-1)^2 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $
- $ f’(a) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 $
- Equação da reta: $ y - (-1) = 1(x - (-1)) $ => $ y + 1 = x + 1 $ => $ y = x $
Resposta
As equações das retas tangentes são: