Utilizando o Método da Variação dos Parâmetros, encontre a solução geral da EDO não homogênea
y^prime prime+y=sen^2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea usando o Método da Variação dos Parâmetros. A equação que temos é:
y^prime prime + y = sen^2 t
Vamos precisar conhecer um pouco sobre EDOs lineares, resolver a parte homogênea e depois aplicar o método da variação dos parâmetros para achar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y^prime prime + y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas. A gente encontra as raízes da equação característica:
r^2 + 1 = 0 implies r = pm i
Então, as soluções são baseadas em funções seno e cosseno:
yh(t) = C1 cos t + C2 sin t
Aqui, e são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiver.

Passo 3

Agora, vamos para a parte não homogênea usando o Método da Variação dos Parâmetros. A ideia é encontrar uma solução particular yp(t) = u1(t) cos t + u2(t) sin t que, somada à solução geral da homogênea, dá a solução geral completa.
As soluções da homogênea são yp' = u1' cos t - u1 sin t + u2' sin t + u2 cos t e yp'' = u1'' cos t - 2 u1' sin t - u1 cos t + u2'' sin t + 2 u2' cos t - u2 sin t . Vamos supor que a solução particular tem a forma:
u1' cos t + u2' sin t = 0
Precisamos encontrar as funções yp'' + yp = ( -u1' sin t + u2' cos t ) + ( u1 cos t + u2 sin t ) = sen^2 t e -u1' sin t + u2' cos t = sen^2 t . Primeiro, calculamos as derivadas de u1' cos t + u2' sin t = 0 :
u1' (cos^2 t) + u2' (sin t cos t) - u1' (sin^2 t) + u2' (sin t cos t) = sen^2 t cos t
Mas, para simplificar, impomos que:
Isso reduz as derivadas e facilita os cálculos. Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes, temos:
E a primeira condição:
Resolvendo esse sistema para e :
Multiplicamos a primeira equação por e a segunda por , e somamos:
Simplificando, encontramos e . Após integrar, obtemos e .

Passo 4

Depois de encontrar y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos t + C2 sin t + yp(t) e , substituímos de volta na expressão de . Isso nos dá a solução particular. Finalmente, a solução geral da EDO não homogênea será a soma da solução da homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(t) = C1 cos t + C2 sin t - 12 t cos t
onde e são constantes arbitrárias.

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