Utilizando o Método da Variação dos Parâmetros, encontre a solução geral da EDO não homogênea
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea usando o Método da Variação dos Parâmetros. A equação que temos é:
Vamos precisar conhecer um pouco sobre EDOs lineares, resolver a parte homogênea e depois aplicar o método da variação dos parâmetros para achar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas. A gente encontra as raízes da equação característica:
Então, as soluções são baseadas em funções seno e cosseno:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiver.
Passo 3
Agora, vamos para a parte não homogênea usando o Método da Variação dos Parâmetros. A ideia é encontrar uma solução particular
que, somada à solução geral da homogênea, dá a solução geral completa.
As soluções da homogênea são
e
. Vamos supor que a solução particular tem a forma:
Precisamos encontrar as funções
e
. Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Mas, para simplificar, impomos que:
Isso reduz as derivadas e facilita os cálculos. Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes, temos:
E a primeira condição:
Resolvendo esse sistema para
e
:
Multiplicamos a primeira equação por
e a segunda por
, e somamos:
Simplificando, encontramos
e
. Após integrar, obtemos
e
.
Passo 4
Depois de encontrar
e
, substituímos de volta na expressão de
. Isso nos dá a solução particular. Finalmente, a solução geral da EDO não homogênea será a soma da solução da homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias.