Encontre es pontos de máximo e míxims locais de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximo e mínimos locais da função $ f(x) = x^{3} + 2x^{2} + x + 1 $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas e análise de funções. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função e analisar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de $ x $ onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todo $ x $, então vamos resolver:
Passo 4
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara. Lembrando que para uma equação da forma $ ax^{2} + bx + c = 0 $, as soluções são:
No nosso caso, $ a = 3 $, $ b = 4 $ e $ c = 1 $. Substituindo:
Então, as soluções são:
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos $ x = -\frac{1}{3} $ e $ x = -1 $, precisamos determinar se cada um é um ponto de máximo ou mínimo local. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Passo 6
Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
Para $ x = -\frac{1}{3} $:
Como $ f’’\left(-\frac{1}{3}\right) > 0 $, isso indica que a função tem um mínimo local nesse ponto.
Para $ x = -1 $:
Como $ f’’(-1) < 0 $, isso indica que a função tem um máximo local nesse ponto.
Resposta
A função $ f(x) = x^{3} + 2x^{2} + x + 1 $ tem um ponto de mínimo local em $ x = -\frac{1}{3} $ e um ponto de máximo local em $ x = -1 $.