Encontre a área da região D limitada abaixo pela curva y=x^2 e acima pela reta y=2 x no primeiro quadrante. (Resp. 4/3.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região $ D $ que está abaixo da curva $ y = x^{2} $ e acima da reta $ y = 2x $ no primeiro quadrante. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais definidas para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram no primeiro quadrante. Isso significa que queremos saber para quais valores de $ x $ as funções $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $ se cortam quando $ x $ e $ y $ são positivos.

Passo 3

Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas expressões:
x^2 = 2x
Resolvendo essa equação:
x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0
Então, $ x = 0 $ ou $ x = 2 $.

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se encontram em $ x = 0 $ e $ x = 2 $, vamos determinar qual curva está acima da outra entre esses pontos. Vamos testar um valor de $ x $ entre 0 e 2, por exemplo, $ x = 1 $:
x = 0
Vemos que $ 2x $ está acima de $ x^{2} $ nesse intervalo.

Passo 5

A área entre duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, no intervalo onde elas se intersectam. Então, a fórmula para a área $ A $ é:
A

Passo 6

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integraremos cada termo separadamente:
integral 2x , dx = x^2 integral x^2 , dx = x^33
Então, a integral fica:
A = [ x^2 - x^33 ]0^2

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, $ x = 2 $ e $ x = 0 $:
x = 2

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
4 = 123 A = 123 - 83 = 43

Resposta

A área da região $ D $ é $ \frac{4}{3} $ unidades quadradas.

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