Encontre a área da região
limitada abaixo pela curva
e acima pela reta
no primeiro quadrante. (Resp. 4/3.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região $ D $ que está abaixo da curva $ y = x^{2} $ e acima da reta $ y = 2x $ no primeiro quadrante. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais definidas para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram no primeiro quadrante. Isso significa que queremos saber para quais valores de $ x $ as funções $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $ se cortam quando $ x $ e $ y $ são positivos.
Passo 3
Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas expressões:
Resolvendo essa equação:
Então, $ x = 0 $ ou $ x = 2 $.
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se encontram em $ x = 0 $ e $ x = 2 $, vamos determinar qual curva está acima da outra entre esses pontos. Vamos testar um valor de $ x $ entre 0 e 2, por exemplo, $ x = 1 $:
Vemos que $ 2x $ está acima de $ x^{2} $ nesse intervalo.
Passo 5
A área entre duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, no intervalo onde elas se intersectam. Então, a fórmula para a área $ A $ é:
Passo 6
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integraremos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, $ x = 2 $ e $ x = 0 $:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A área da região $ D $ é $ \frac{4}{3} $ unidades quadradas.