(5)(2,0 pontos) Quais devem ser as dimensões de uma lata cilíndrica para armazenar 500 cm^3 de refrigerante, de forma que a quantidade de material utilizado na confecção da lata seja o mínimo possível? Dado: Área lateral do cilindro é dada por: Al=2 pi r h, onde r é o raio do cilíndro e h é a sua altura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir quais devem ser as dimensões (raio e altura) de uma lata cilíndrica que precisa guardar 500 cm³ de refrigerante. E o objetivo é usar a menor quantidade de material possível na confecção dessa lata. Então, vamos precisar trabalhar com geometria e cálculo de otimização, usando fórmulas para volume e área de cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que vamos usar:
  • Volume do cilindro (V):
    V = pi r^2 h
    Onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura do cilindro.
  • Área lateral do cilindro (A_l):
    r
    Essa é a área das laterais, sem contar as bases.
Mas, para minimizar a quantidade total de material, precisamos considerar toda a área superficial da lata, que inclui as duas bases:
  • Área total (A): h

Passo 3

Nosso objetivo é minimizar a área total $ A $ mantendo o volume $ V = 500 , cm^3 $. Então, vamos usar a equação do volume para expressar uma variável em termos da outra.
A partir da fórmula do volume:
A
Substituindo $ V = 500 $:
V = 500 , cm^3

Passo 4

Agora, substituímos a expressão de $ h $ na fórmula da área total:
h
Simplificando:
A = 2 pi r ( 500pi r^2 ) + 2 pi r^2
Agora, temos a área $ A $ somente em função do raio $ r $. Para encontrar o valor de $ r $ que minimiza $ A $, vamos derivar $ A $ em relação a $ r $ e igualar a zero.
Derivando:
A = 1000r + 2 pi r^2
Igualando a zero:
A
Multiplicando ambos os lados por $ r^2 $:
r
Então:
r

Passo 5

Agora que temos o valor de $ r $, vamos encontrar $ h $ usando a relação que encontramos no Passo 3:
r

Resposta

As dimensões ótimas para a lata são:
  • Raio ®: aproximadamente 3,58 cm
  • Altura (h): aproximadamente 12,41 cm
Assim, a lata cilíndrica com essas medidas armazenará 500 cm³ de refrigerante usando a menor quantidade de material possível.

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