(4)(2,0 pontos) Encontrar os pontos críticos das seguintes funções, classificando-os em máximo ou mínimo quando for o caso,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ g(x) = 4x^{3} - 8x^{2} + 5x $ e dizer se eles são máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas, que nos ajudam a encontrar onde a função tem seus picos e vales.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ g(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, como a função está subindo ou descendo naquele ponto. Vamos derivar termo a termo:
Calculando:
Passo 3
Agora, os pontos críticos são os valores de $ x $ onde a derivada $ g’(x) $ é igual a zero ou onde a derivada não existe. Neste caso, nossa derivada $ g’(x) = 12x^{2} - 16x + 5 $ é um polinômio e existe para todo valor de $ x $, então precisamos resolver:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 12 $, $ b = -16 $ e $ c = 5 $. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Agora que encontramos os pontos críticos $ x = \frac{5}{6} $ e $ x = \frac{1}{2} $, vamos classificar cada um como máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Agora, avaliamos $ g’’(x) $ em cada ponto crítico:
- Para $ x = \frac{5}{6} $:
Como $ g’’\left(\frac{5}{6}\right) > 0 $, isso indica que a função tem um mínimo nesse ponto.
- Para $ x = \frac{1}{2} $:
Como $ g’’\left(\frac{1}{2}\right) < 0 $, isso indica que a função tem um máximo nesse ponto.
Resposta
Os pontos críticos da função $ g(x) = 4x^{3} - 8x^{2} + 5x $ são:
- $ x = \frac{1}{2} $ — ponto de máximo.
- $ x = \frac{5}{6} $ — ponto de mínimo.