Se
, encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região delimitada pelas seguintes curvas:
Vamos utilizar o conceito de cálculo integral para calcular essa área. Basicamente, iremos integrar a função $ y $ em relação a $ x $ entre os limites fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. As curvas $ x = 0 $ e $ x = \frac{a}{2} $ nos dizem que vamos integrar de $ x = 0 $ até $ x = \frac{a}{2} $.
Passo 3
Agora, vamos escrever a expressão para a área $ A $ utilizando a integral definida:
Passo 4
Para resolver essa integral, precisamos lembrar de uma fórmula básica de integração:
Onde $ C $ é a constante de integração. Esse resultado vem do conhecimento das integrais envolvendo funções trigonométricas.
Passo 5
Aplicando a fórmula na nossa integral, temos:
Simplificando os argumentos das funções arco seno:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{\pi}{6} $ unidades de área.