Se a>0, encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas.
y=1 / sqrta^2-x^2, x=0, y=0, x=a / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região delimitada pelas seguintes curvas:
y = 1raiza^2 - x^2, x = 0, y = 0, x = a2
Vamos utilizar o conceito de cálculo integral para calcular essa área. Basicamente, iremos integrar a função $ y $ em relação a $ x $ entre os limites fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. As curvas $ x = 0 $ e $ x = \frac{a}{2} $ nos dizem que vamos integrar de $ x = 0 $ até $ x = \frac{a}{2} $.

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão para a área $ A $ utilizando a integral definida:
A

Passo 4

Para resolver essa integral, precisamos lembrar de uma fórmula básica de integração:
integral 1raiza^2 - x^2 , dx = arcsin(xa) + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Esse resultado vem do conhecimento das integrais envolvendo funções trigonométricas.

Passo 5

Aplicando a fórmula na nossa integral, temos:
A = [ arcsin(xa) ]0^a2 = arcsin(a2a) - arcsin(0a)
Simplificando os argumentos das funções arco seno:
A = arcsin(12) - arcsin(0)
Sabemos que:
arcsin(12) = pi6 e arcsin(0) = 0
Portanto:
A = pi6 - 0 = pi6

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{\pi}{6} $ unidades de área.

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