Encontre a área da região delimitada pelas curvas
e
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a área da região que está entre as curvas
e
no intervalo de
. Isso envolve cálculo de integrais para determinar a área entre duas curvas. Vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e identificar qual curva está por cima no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais das duas funções,
ou
, é maior nesse intervalo. Sabemos que
e
têm comportamentos diferentes em cada quadrante. No intervalo de
, a função
geralmente está acima de
. Para confirmar isso, vamos calcular o valor de ambas as funções em
:
Como
, podemos concluir que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 3
Agora que sabemos qual função está acima, vamos configurar a integral para calcular a área entre as duas curvas. A fórmula para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso,
e
, e
,
.
Passo 4
Vamos montar a integral:
Para facilitar a integração, podemos usar uma identidade trigonométrica que relaciona
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. A integral de
é
. Aplicando isso:
Passo 6
Vamos avaliar a integral definida nos limites de
a
:
Simplificando os argumentos das funções seno:
Então:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
no intervalo
é 1.