Encontre a área da região delimitada pelas curvas y=sen^2 x e y=cos ^2 x no intervalo [-pi4, pi4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a área da região que está entre as curvas e no intervalo de . Isso envolve cálculo de integrais para determinar a área entre duas curvas. Vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e identificar qual curva está por cima no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais das duas funções, ou , é maior nesse intervalo. Sabemos que e têm comportamentos diferentes em cada quadrante. No intervalo de , a função geralmente está acima de . Para confirmar isso, vamos calcular o valor de ambas as funções em :

Como , podemos concluir que está acima de nesse intervalo.

Passo 3

Agora que sabemos qual função está acima, vamos configurar a integral para calcular a área entre as duas curvas. A fórmula para a área entre duas curvas Área = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx e de a é:
Á
No nosso caso, e , e , .

Passo 4

Vamos montar a integral:
Área = integral-pi4^pi4 [cos^2x - sin^2x] , dx Á
Para facilitar a integração, podemos usar uma identidade trigonométrica que relaciona cos^2x - sin^2x = cos(2x) :
Área = integral-pi4^pi4 cos(2x) , dx
Então, a integral fica:
Á

Passo 5

Agora, vamos integrar integral cos(2x) , dx = sin(2x)2 + C . A integral de é . Aplicando isso:

Passo 6

Vamos avaliar a integral definida nos limites de Área = [ sin(2x)2 ]-pi4^pi4 = sin(2 cdot pi4)2 - sin(2 cdot -pi4)2 a 2 cdot pi4 = pi2 e 2 cdot -pi4 = -pi2 :
Área = sin(pi2)2 - sin(-pi2)2 Á
Simplificando os argumentos das funções seno:
Área = 12 - -12 = 12 + 12 = 1
Então:
Á
Sabemos que e , então:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e no intervalo é 1.

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