Nos itens abaixo, utilize, se necessário, substituição trigonométrica para calcular a integral dada.
(a) integralraiz2^2 1x^3 raizx^2-1 d x

Passo 1

A integral dada é integralraiz2^2 1x^3raizx^2-1,dx. Este problema envolve irracionais do tipo raizx^2-1, então a ideia é usar substituição trigonométrica. Vamos precisar lembrar que, para esse caso, a escolha clássica é x=sectheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x=sectheta:
dx=secthetatantheta,dtheta, raizx^2-1=tantheta, x^3=sec^3theta
Precisamos também trocar os limites:
quando x=raiz2, temos sectheta=raiz2 então theta=pi/4;
quando x=2, temos sectheta=2 então theta=pi/3.

Passo 3

Substituindo tudo na integral, o numerador dx=secthetatantheta,dtheta e o denominador x^3raizx^2-1=sec^3thetacdottantheta. Fazendo o quociente, o tantheta cancela e sobra:
integralpi/4^pi/3secthetatanthetasec^3thetatantheta,dtheta =integralpi/4^pi/31sec^2theta,dtheta =integralpi/4^pi/3cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade de redução:
cos^2theta=1+cos(2theta)2
Logo,
integralcos^2theta,dtheta =integral1+cos(2theta)2,dtheta =12theta+14sin(2theta)+C

Passo 5

Agora avaliamos de theta=pi/4 a theta=pi/3:
l[tfrac12theta+tfrac14sin(2theta)r]pi/4^pi/3 =l(tfracpi6+tfrac14sintfrac2pi3r) -l(tfracpi8+tfrac14sintfracpi2r)
Sabendo que sin(2pi/3)=tfracraiz32 e sin(pi/2)=1, temos:
pi6+raiz38-l(pi8+14r) =pi6-pi8+raiz38-14 =pi24+raiz3-28

Resposta

dfracpi24+dfracraiz3-28

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