Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.
F(x, y)=y i+x j

Passo 1

Temos o campo vetorial vec F(x,y)=y,vec i + x,vec j. O conteúdo é verificação de campo conservativo em R^2. Para resolver, vamos usar que se vec F=(P,Q) é definido num domínio simplesmente conexo, então é conservativo se partial P/partial y=partial Q/partial x.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=y e Q(x,y)=x. Calculando as derivadas parciais: partial Ppartial y=1 e partial Qpartial x=1.

Passo 3

Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo R^2, e o domínio de definição é simplesmente conexo, concluímos que vec F é conservativo. Podemos ainda exibir uma função potencial, por exemplo phi(x,y)=xy+C.

Resposta

O campo vec F(x,y)=y,vec i + x,vec j é conservativo.

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