Encontre a área da região delimitada pela parábola y=x^2, pela reta tangente a esta parábola no ponto (3,9) e pelo eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y=x^2, pela reta tangente a essa parábola no ponto (3,9) e pelo eixo x. Vamos usar derivada para achar a reta tangente, depois identificar interseções e calcular a área por integrais definidas.

Passo 2

Para achar a reta tangente à curva y=x^2 em (3,9), calculamos a derivada y'=2x. Em x=3, o coeficiente angular vale m=2cdot3=6. A equação da reta tangente é dada por
y-9=6(x-3)
o que simplifica para
y=6x-9

Passo 3

Precisamos dos pontos onde essa reta e a parábola cruzam o eixo x. Para a reta, fazemos 0=6x-9, obtendo x=3/2. Para a parábola, 0=x^2 x=0. O ponto de tangência (3,9) é onde reta e curva se encontram acima do eixo.

Passo 4

Visualizando a região, ela é fechada pelos três arcos: curva de (0,0) a (3/2,0) (baixo), reta de (3/2,0) a (3,9) (um lado) e curva de (3,9) a (0,0) (outro lado). Para integrar verticalmente, note que de x=0 até x=3/2 a região está entre y=0 e y=x^2, e de x=3/2 até x=3 está entre y=6x-9 (embaixo) e y=x^2 (em cima).

Passo 5

Calculamos a primeira parte da área:
A1=integral0^3/2 x^2,dx=l[x^33r]0^3/2=(3/2)^33=27/83=98

Passo 6

Agora a segunda parte:
A2=integral3/2^3l(x^2-(6x-9)r)dx
A primitiva de x^2-6x+9 é
x^33-3x^2+9x,
de modo que
A2=l[x^33-3x^2+9xr]3/2^3 =9-638=98

Passo 7

Somando as duas parcelas:
A=A1+A2=98+98=188=94

Resposta

94

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