Encontre a área da região delimitada pela parábola
, pela reta tangente a esta parábola no ponto
e pelo eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela parábola
, pela reta tangente a essa parábola no ponto
e pelo eixo
. Vamos usar derivada para achar a reta tangente, depois identificar interseções e calcular a área por integrais definidas.
Passo 2
Para achar a reta tangente à curva
em
, calculamos a derivada
. Em
, o coeficiente angular vale
. A equação da reta tangente é dada por
o que simplifica para
Passo 3
Precisamos dos pontos onde essa reta e a parábola cruzam o eixo
. Para a reta, fazemos
, obtendo
. Para a parábola,
dá
. O ponto de tangência
é onde reta e curva se encontram acima do eixo.
Passo 4
Visualizando a região, ela é fechada pelos três arcos: curva de
a
(baixo), reta de
a
(um lado) e curva de
a
(outro lado). Para integrar verticalmente, note que de
até
a região está entre
e
, e de
até
está entre
(embaixo) e
(em cima).
Passo 5
Calculamos a primeira parte da área:
Passo 6
Agora a segunda parte:
A primitiva de
é
de modo que
Passo 7
Somando as duas parcelas: