Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
; em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=sen²(x), y=0 para x∈[π/2,π] em torno do eixo x. O conteúdo aqui é método dos discos (ou cascas) para volume de revolução, e vamos precisar da fórmula geral
além de usar redução de potência em funções trigonométricas.
Passo 2
Para aplicar o método dos discos, identificamos f(x)=sen²(x). Então o volume é
Passo 3
Precisamos reescrever
usando a fórmula de redução de potência. Sabendo que
temos
E para
usamos
Logo
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
Passo 5
Avaliamo de x=π/2 a x=π:
Em x=π:
Em x=π:
Em x=π/2:
Diferença:
Passo 6
Multiplicando por π, o volume final é