Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=sen^2(x), y=0, pi2 <= x <= pi; em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=sen²(x), y=0 para x∈[π/2,π] em torno do eixo x. O conteúdo aqui é método dos discos (ou cascas) para volume de revolução, e vamos precisar da fórmula geral
V=piintegrala^b[f(x)]^2,dx
além de usar redução de potência em funções trigonométricas.

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, identificamos f(x)=sen²(x). Então o volume é
V=piintegralpi/2^pi [sin^2(x)]^2,dx=piintegralpi/2^pi sin^4(x),dx

Passo 3

Precisamos reescrever sin^4(x) usando a fórmula de redução de potência. Sabendo que
sin^2(x)=1-cos(2x)2
temos
sin^4(x)=l(sin^2(x)r)^2=(1-cos(2x)2)^2=1-2cos(2x)+cos^2(2x)4
E para cos^2(2x) usamos
cos^2(2x)=1+cos(4x)2
Logo
sin^4(x)=1-2cos(2x)+1+cos(4x)24=3-4cos(2x)+cos(4x)8

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral sin^4(x),dx=integral(38-12cos(2x)+18cos(4x))dx =38x-14sin(2x)+132sin(4x)+C

Passo 5

Avaliamo de x=π/2 a x=π:
Em x=π:
F(π)=38pi-14sin(2π)+132sin(4π)=3pi8
Em x=π/2:
Fl(tfracpi2r)=38cdotpi2-14sin(pi)+132sin(2pi)=3pi16
Diferença:
F(π)-F(tfracpi2)=3pi8-3pi16=3pi16

Passo 6

Multiplicando por π, o volume final é
V=pitimes3pi16=3pi^216

Resposta

3pi^216

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