Se
, definida no intervalo
, em qual intervalo
é crescente?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função definida por uma integral:
Está definido no intervalo
. Queremos descobrir em qual parte desse intervalo a função
está aumentando. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de
, a derivada é dada pela função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada desse limite.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar
usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão para
:
Agora, para determinar onde
está crescente, precisamos saber onde
.
Passo 6
Analisando cada parte da expressão:
-
para todo no domínio, já que a exponencial de qualquer número real é positiva. -
para todo no domínio, pois o cosseno está definido e não zero nesse intervalo. -
para .
Como todos os fatores são positivos no intervalo
, então
nesse intervalo.
Resposta
A função
é crescente em todo o intervalo
.