Se f(x)=integralCos(raizpi)^tg(raizx) e^-t d t, definida no intervalo (0, pi2), em qual intervalo f é crescente?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função definida por uma integral:
f(x) = integralcos(raizpi)^tan(raizx) e^-t , dt
Está definido no intervalo (0, pi2). Queremos descobrir em qual parte desse intervalo a função f está aumentando. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de f(x) em relação a x, ou seja, f'(x). De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de x, a derivada é dada pela função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada desse limite.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
f'(x) = e^-tan(raizx) cdot ddx ( tan(raizx) )
Agora, precisamos calcular a derivada de tan(raizx) em relação a x.

Passo 4

Vamos derivar tan(raizx) usando a regra da cadeia. A derivada de tan(u) em relação a u é sec^2(u), e a derivada de raizx em relação a x é 12raizx. Então:
ddx ( tan(raizx) ) = sec^2(raizx) cdot 12raizx

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para f'(x):
f'(x) = e^-tan(raizx) cdot sec^2(raizx) cdot 12raizx
Agora, para determinar onde f está crescente, precisamos saber onde f'(x) > 0.

Passo 6

Analisando cada parte da expressão:
  • e^-tan(raizx) > 0 para todo x no domínio, já que a exponencial de qualquer número real é positiva.
  • sec^2(raizx) > 0 para todo x no domínio, pois o cosseno está definido e não zero nesse intervalo.
  • 12raizx > 0 para x > 0.
Como todos os fatores são positivos no intervalo (0, pi2), então f'(x) > 0 nesse intervalo.

Resposta

A função f é crescente em todo o intervalo (0, pi2).

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