Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está dentro de ambas as curvas dadas em coordenadas polares:
e
. Vamos usar a fórmula de área em polares:
.
Passo 2
Precisamos achar para que valores de
ambas as curvas gerem valores reais de
. Isso exige
e
. Resolvendo:
dá
e
dá
. A interseção fundamental é
. Há outra interseção simétrica em
, mas vamos calcular em
e depois dobrar o resultado.
Passo 3
As curvas se cruzam quando
, isto é
, de onde
e portanto
. Logo em
o limite menor de
vem de
, e em
vem de
.
Passo 4
Calculamos a área no intervalo
somando duas integrais:
Passo 5
Cada parte dá
Passo 6
portanto em
Passo 7
Como há simetria e uma segunda região idêntica em
, dobramos: