Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
r^2=sen 2 theta e r^2=cos 2 theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro de ambas as curvas dadas em coordenadas polares: r^2=sin2theta e r^2=cos2theta. Vamos usar a fórmula de área em polares: A=12integral r^2,dtheta.

Passo 2

Precisamos achar para que valores de theta ambas as curvas gerem valores reais de r. Isso exige sin2theta>=0 e cos2theta>=0. Resolvendo:
sin2theta>=0 thetain[0,tfracpi2]+kpi e cos2theta>=0 thetain[-tfracpi4,tfracpi4]+kpi. A interseção fundamental é thetain[0,tfracpi4]. Há outra interseção simétrica em [pi,5pi/4], mas vamos calcular em [0,tfracpi4] e depois dobrar o resultado.

Passo 3

As curvas se cruzam quando sin2theta=cos2theta, isto é tan2theta=1, de onde 2theta=tfracpi4 e portanto theta=tfracpi8. Logo em [0,tfracpi8] o limite menor de r vem de r=raizsin2theta, e em [tfracpi8,tfracpi4] vem de r=raizcos2theta.

Passo 4

Calculamos a área no intervalo [0,tfracpi4] somando duas integrais:
A1=integral0^pi/8tfrac12l(sin2thetar),dtheta+integralpi/8^pi/4tfrac12l(cos2thetar),dtheta

Passo 5

Cada parte dá
integral0^pi/8tfrac12sin2theta,dtheta=2-raiz28,
integralpi/8^pi/4tfrac12cos2theta,dtheta=2-raiz28,

Passo 6

portanto em [0,tfracpi4]
A1=2-raiz28+2-raiz28=2-raiz24

Passo 7

Como há simetria e uma segunda região idêntica em [pi,5pi/4], dobramos:
A=2A1=2times2-raiz24=2-raiz22

Resposta

A=2-raiz22

Exercícios relacionados