1. Seja f: R R uma função tal que lim x 0 f(x) para qualquer . Calcule e .

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função f cuja soma com 1 satisfaz, para todo x em l(-raizpi/2,,raizpi/2r), a desigualdade
1 + x^2 + x^63 <= f(x) + 1 <= secl(x^2r) + x^63
Estamos em um contexto de Teorema do Confronto (ou Esprema), e vamos precisar usar séries ou limites conhecidos para sec(x^2) e comparar as funções no entorno de 0.

Passo 2

Primeiro, subtraímos 1 em toda a desigualdade para isolar f(x):
x^2 + x^63 <= f(x) <= secl(x^2r) - 1 + x^63
Isso nos dá limites inferiores e superiores para f(x).

Passo 3

Para encontrar limxto0f(x), avaliamos o limite de cada extremo. Note que
  • limxto0l(x^2 + tfracx^63r)=0.
  • Usando o fato de que sec y = 1 + tfracy^22 + o(y^2) quando yto0, com y=x^2, temos sec(x^2)-1 = x^42 + o(x^4)to0
    Logo limxto0l(sec(x^2)-1 + tfracx^63r)=0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como x^2 + x^6/3to0 e sec(x^2)-1 + x^6/3to0, segue que limxto0f(x)=0

Passo 5

Para limxto0 l(f(x)cos(1/(x+x^2))r), observe que |cos(1/(x+x^2))|<=1. Então
l|f(x)cos(1/(x+x^2))r| <= |f(x)|
e como f(x)to0, novamente pelo Teorema do Confronto o produto tende a 0.

Resposta

limxto0f(x)=0 e limxto0l(f(x)cos(1/(x+x^2))r)=0.

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