Seja uma função tal que para qualquer . Calcule e .
Passo 1
O enunciado diz que existe uma função f cuja soma com 1 satisfaz, para todo x em , a desigualdade
Estamos em um contexto de Teorema do Confronto (ou Esprema), e vamos precisar usar séries ou limites conhecidos para e comparar as funções no entorno de 0.
Passo 2
Primeiro, subtraímos 1 em toda a desigualdade para isolar :
Isso nos dá limites inferiores e superiores para .
Passo 3
Para encontrar , avaliamos o limite de cada extremo. Note que
.
Usando o fato de que quando , com , temos
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Passo 4
Pelo Teorema do Confronto, como e , segue que
Passo 5
Para , observe que . Então
e como f(x)to0, novamente pelo Teorema do Confronto o produto tende a 0.