Utilizando o primeiro limite fundamental, determine:
lim x 0 sen(a x)x, a constante.

Passo 1

Então, a gente tem um limite para calcular: lim x 0 sin(a x)x, onde a é uma constante. Vamos usar o conceito de limites fundamentais, especialmente o primeiro limite fundamental, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o primeiro limite fundamental. Ele diz que limx to 0 sin(x)x = 1. Esse é um resultado muito importante em cálculo quando estamos lidando com funções trigonométricas perto de zero.

Passo 3

No nosso caso, temos sin(a x) em vez de sin(x). Para usar o primeiro limite fundamental, precisamos ajustar a expressão para parecer com sin(u)u, onde u é algo que vai a zero.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição: seja u = a x. Então, quando x tende a 0, u também tende a 0, já que a é uma constante.

Passo 5

Reescrevemos o limite em termos de u:
limx to 0 sin(a x)x = limu to 0 sin(u)u cdot a
Isso porque x = ua, então substituímos na fração.

Passo 6

Agora, aplicamos o primeiro limite fundamental:
limu to 0 sin(u)u = 1
Portanto, temos:
1 cdot a = a

Resposta

O limite é igual a a.

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