Sobre
na região
o mínimo de
é
.
o mínimo de
Passo 1
A questão pede o mínimo da função f(x,y)=x2+y2−x−y+3 no disco D dado por x2+y2≤1. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em regiões fechadas, usando derivadas parciais para pontos internos e análise na fronteira.
Passo 2
Primeiro encontramos pontos críticos no interior de D. Calculamos as derivadas parciais
e
, e igualamos a zero, obtendo o sistema
Isso dá o ponto crítico
, que está dentro de D pois
.
Passo 3
No ponto
temos
Passo 4
Agora analisamos a fronteira x2+y2=1. Parametrizamos por
e definimos
Sabemos que
varia entre
e
, logo
Passo 5
Comparando, o valor mínimo interno é
e na fronteira é maior. Portanto o mínimo global de f em D é
.
Resposta
\frac{5}{2}