Sobre f(x, y)=x^2+y^2-x-y+3 na região D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 1
o mínimo de f é 52.

Passo 1

A questão pede o mínimo da função f(x,y)=x2+y2−x−y+3 no disco D dado por x2+y2≤1. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em regiões fechadas, usando derivadas parciais para pontos internos e análise na fronteira.

Passo 2

Primeiro encontramos pontos críticos no interior de D. Calculamos as derivadas parciais
partial fpartial x=2x-1 e partial fpartial y=2y-1, e igualamos a zero, obtendo o sistema
2x-1=0,
2y-1=0
Isso dá o ponto crítico (x,y)=(tfrac12,tfrac12), que está dentro de D pois (1/2)^2+(1/2)^2=1/2<1.

Passo 3

No ponto (tfrac12,tfrac12) temos
fl(tfrac12,tfrac12r)=l(tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2-tfrac12-tfrac12+3=tfrac14+tfrac14-1+3=tfrac52

Passo 4

Agora analisamos a fronteira x2+y2=1. Parametrizamos por x=cos t, y=sin t e definimos
g(t)=f(cos t,sin t)=cos^2t+sin^2t-cos t-sin t+3=1-(cos t+sin t)+3=4-(cos t+sin t)
Sabemos que cos t+sin t varia entre -raiz2 e raiz2, logo
g(t)min=4-raiz2approx2,586>2,5

Passo 5

Comparando, o valor mínimo interno é 5/2 e na fronteira é maior. Portanto o mínimo global de f em D é 5/2.

Resposta

\frac{5}{2}

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