Encontre as integrais indefinidas abaixo usando uma substituição adequada:
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
a variável de integração é
, e a resposta deve ser uma primitiva (ou seja, a antiderivada) mais uma constante de integração
. Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Ideia chave (sem resolver ainda): quando vemos uma função composta elevada a uma potência, como
, e multiplicada por um fator que parece estar relacionado à derivada do interior (aqui
lembra a derivada de
), é comum usar uma substituição
(interior da função composta). Vou explicar a regra geral que usamos:
Se
e
, então
Aqui
é a parte externa (por exemplo
) e
é a parte interna (por exemplo
). A substituição transforma a integral em uma integral em
, que costuma ser mais simples. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Escolhemos a substituição. Tomamos
Agora calculamos
. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
. Portanto,
Reescrevendo, temos
Esse é o passo que nos permite substituir exatamente o fator
que aparece no integrando.
Passo 4
Agora substituímos na integral original usando
e
. A integral
fica, usando
e
,
Posso tirar o sinal negativo para fora:
Passo 5
Integramos em
. Lembrando a regra do poder para integrais: para
,
Aqui
, então
Portanto,
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
. Assim a primitiva da integral dada é
onde
é a constante de integração. Você pode checar rapidamente derivando essa expressão e confirmando que recupera o integrando original (por curiosidade, usar a regra da cadeia dá exatamente
).