Encontre as integrais indefinidas abaixo usando uma substituição adequada:
\int x^{-2}\left(\frac{1}{x}+2\right)^{5} d x.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
\int x^{-2}\left(\frac{1}{x}+2\right)^{5}\,dx.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando } = x^{-2}\left(\frac{1}{x}+2\right)^{5},
a variável de integração é x, e a resposta deve ser uma primitiva (ou seja, a antiderivada) mais uma constante de integração C. Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Ideia chave (sem resolver ainda): quando vemos uma função composta elevada a uma potência, como \left(\frac{1}{x}+2\right)^{5}, e multiplicada por um fator que parece estar relacionado à derivada do interior (aqui x^{-2} lembra a derivada de \frac{1}{x}), é comum usar uma substituição u = (interior da função composta). Vou explicar a regra geral que usamos:
Se u = g(x) e du = g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui f é a parte externa (por exemplo u^5) e g é a parte interna (por exemplo \frac{1}{x}+2). A substituição transforma a integral em uma integral em u, que costuma ser mais simples. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escolhemos a substituição. Tomamos
u = \frac{1}{x} + 2.
Agora calculamos du. A derivada de \frac{1}{x} em relação a x é -\frac{1}{x^{2}}, e a derivada de 2 é 0. Portanto,
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Reescrevendo, temos
x^{-2}\,dx = -\,du.
Esse é o passo que nos permite substituir exatamente o fator x^{-2}\,dx que aparece no integrando.

Passo 4

Agora substituímos na integral original usando u e du. A integral
\int x^{-2}\left(\frac{1}{x}+2\right)^{5}\,dx
fica, usando \left(\frac{1}{x}+2\right)=u e x^{-2}\,dx=-du,
\int x^{-2}\left(\frac{1}{x}+2\right)^{5}\,dx = \int u^{5}\,(-du).
Posso tirar o sinal negativo para fora:
= -\int u^{5}\,du.

Passo 5

Integramos em u. Lembrando a regra do poder para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=5, então
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C.
Portanto,
- \int u^{5}\,du = -\frac{u^{6}}{6} + C.

Passo 6

Voltamos à variável original x substituindo u=\frac{1}{x}+2. Assim a primitiva da integral dada é
-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{x}+2\right)^{6} + C,
onde C é a constante de integração. Você pode checar rapidamente derivando essa expressão e confirmando que recupera o integrando original (por curiosidade, usar a regra da cadeia dá exatamente x^{-2}\left(\frac{1}{x}+2\right)^{5}).

Resposta

-\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{x}+2\right)^{6}+C

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