Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas e esboce o gráfico.
y=|x-2| e y=2-(x-2)^2.

Passo 1

O exercício pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas y = |x − 2| e y = 2 − (x − 2)². O conteúdo é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar achar os pontos de interseção, esboçar as curvas para entender quem é a curva superior e, por fim, montar integrais apropriadas.

Passo 2

Primeiro, achamos as interseções resolvendo |x − 2| = 2 − (x − 2)². Dividimos em casos: para x ≥ 2 temos x − 2 = 2 − (x − 2)², ou seja, t = x − 2 ≥ 0 satisfaz t² + t − 2 = 0, dando t = 1 (t = −2 é rejeitado). Logo x = 3. Para x < 2 usamos −(x − 2) = 2 − (x − 2)², que leva a x² −5x +4 = 0, com raízes x = 1 e 4, e mantemos x = 1. Então as interseções são (1,1) e (3,1).
Para visualizar a região, note que y = |x − 2| é um “V” com vértice em (2,0) e y = 2 − (x − 2)² é uma parábola voltada para baixo com vértice em (2,2). Entre x = 1 e x = 3 a parábola fica acima do valor absoluto, formando uma “lente” simétrica em relação a x = 2.

Passo 3

Montamos a integral de área como ∫₁³ [ (2 − (x − 2)²) − |x − 2| ] dx. Como |x − 2| muda de expressão em x = 2, separamos: para x ∈ [1,2], |x − 2| = 2 − x; para x ∈ [2,3], |x − 2| = x − 2. Assim
– em [1,2]: f(x) = 2 − (x − 2)² − (2 − x) = −x² +5x −4
– em [2,3]: g(x) = 2 − (x − 2)² − (x − 2) = −x² +3x

Passo 4

Calculamos cada integral:
Para [1,2]:
integral1^2(-x^2+5x-4),dx = l[-tfracx^33 + tfrac5x^22 -4xr]1^2 = 76

Passo 5

Para [2,3]:
integral2^3(-x^2+3x),dx = l[-tfracx^33 + tfrac3x^22r]2^3 = 76

Passo 6

Somando as duas partes, a área total é 7/6 + 7/6 = 7/3.

Resposta

A área da região limitada pelas duas curvas é 73.

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