Estude a convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
(0.75) summ=2^infty ln mm

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado: temos a série e precisamos verificar se ela converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série removendo o fator constante . Isso porque multiplicar uma série por uma constante não altera sua convergência. Assim, vamos focar em .

Passo 3

Agora, para determinar a convergência dessa série, podemos aplicar o Teste Integral. Esse teste compara a série com uma integral imprópria para verificar se a soma infinita converge ou não.

Passo 4

Definimos a função . Essa função é positiva, contínua e decrescente para , o que são condições necessárias para aplicar o Teste Integral.

Passo 5

Vamos calcular a integral imprópria:
integral2^infty ln xx , dx
Para resolver, fazemos uma substituição:
u = ln x Rightarrow du = 1x dx
Assim,
integral u , du = u^22 + C = (ln x)^22 + C
Avaliar de 2 a infinito:
limb to infty (ln b)^22 - (ln 2)^22 = infty
A integral diverge para infinito.

Passo 6

Como a integral diverge, pelo Teste Integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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