Seja F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j, x<0, y<0 :
Calcule integralC F cdot d r, onde C é uma curva ligando os pontos (-1,-1) a a(-2,-12).

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha de vec F(x,y)=l(-tfracyx^2+y^2,,tfracxx^2+y^2r) ao longo de qualquer curva que leve de (-1,-1) até (-2,-tfrac12). O conteúdo é integral de linha de campo de força e vamos precisar verificar se vec F é conservativo, encontrar um potencial e então usar o Teorema Fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Primeiro verifique se vec F é conservativo. Seja M(x,y)=-tfracyx^2+y^2 e N(x,y)=tfracxx^2+y^2. Calculamos
nablatimesvec F=partial Npartial x-partial Mpartial y=0

Passo 3

Além disso, o domínio considerado (quadrante x<0,y<0) é convexo e portanto simplesmente conectado, não contendo o ponto singular (0,0). Logo, vec F é de fato um campo gradiente nesse domínio.

Passo 4

Para achar o potencial varphi(x,y), notamos que a escolha clássica
varphi(x,y)=arctanl(tfracyxr)
satisfaz
partialvarphipartial x=-yx^2+y^2=M(x,y),partialvarphipartial y=xx^2+y^2=N(x,y)

Passo 5

Finalmente, pelo Teorema Fundamental das integrais de linha,
integralCvec Fcdot d r=varphil(-2,-tfrac12r)-varphi(-1,-1)

Passo 6

Como
varphi(-1,-1)=arctanl(tfrac-1-1r)=arctan(1)=pi4,varphil(-2,-tfrac12r)=arctanl(tfrac-1/2-2r)=arctanl(tfrac14r),
segue que a integral vale
arctanl(tfrac14r)-pi4

Resposta

arctanl(tfrac14r)-pi4

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