Represente as funções como séries de Taylor ou Maclaurin e determine o seu raio de convergência
, série de Taylor centrada em
.
Passo 1
O enunciado pede para representarmos a função
como série de Taylor centrada em
e, em seguida, determinar o raio de convergência. Vamos usar a definição de série de Taylor e notar que essa função se encaixa numa série geométrica.
Passo 2
Definimos
, pois expandiremos em torno de
. Assim,
corresponde a
e a expansão será em potências de
.
Reescrevemos em função de
:
Reescrevemos
Isso mostra que temos a forma padrão de uma série geométrica.
Passo 3
Aplicamos a série geométrica para
:
Substituindo
, obtemos
Passo 4
O raio de convergência vem da condição
, ou seja,
. Portanto, o raio de convergência é
.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é
e o raio de convergência é
.