Represente as funções como séries de Taylor ou Maclaurin e determine o seu raio de convergência
h(x)=1x, série de Taylor centrada em x=1.

Passo 1

O enunciado pede para representarmos a função h(x)=1/x como série de Taylor centrada em x=1 e, em seguida, determinar o raio de convergência. Vamos usar a definição de série de Taylor e notar que essa função se encaixa numa série geométrica.

Passo 2

Definimos u = x - 1, pois expandiremos em torno de x=1. Assim, u=0 corresponde a x=1 e a expansão será em potências de u.
Reescrevemos h(x) em função de u:
h(x)=1x=11+u
Isso mostra que temos a forma padrão de uma série geométrica.

Passo 3

Aplicamos a série geométrica para |u|<1:
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
Substituindo u=x-1, obtemos
1x=sumn=0^infty(-1)^n(x-1)^n

Passo 4

O raio de convergência vem da condição |u|<1, ou seja, |x-1|<1. Portanto, o raio de convergência é R=1.

Resposta

A série de Taylor de 1/x centrada em x=1 é
sumn=0^infty(-1)^n(x-1)^n
e o raio de convergência é R=1.

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