Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas e esboce o gráfico.
x=y^2, y-x=2, y=-2 e y=3 ;

Passo 1

Temos que achar a área da região limitada pelas curvas x=y², y−x=2, y=−2 e y=3. O tema é cálculo de área entre curvas e vamos precisar usar a fórmula da área como integral em relação a y, dada por integral (xdireita - xesquerda) , dy.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações em função de x: da reta y−x=2 temos x=y-2, e já temos a parábola x=y^2. Vamos identificar qual é o limite esquerdo e qual é o direito, comparando y² e y−2 no intervalo de y entre -2 e 3. Note que a diferença
y^2 - (y-2) = y^2 - y + 2
é sempre positiva, logo y-2 <= x <= y^2.

Passo 3

Agora, encontrando os pontos de interseção com as horizontais y=−2 e y=3: para y=−2, temos na reta x=−2−2=−4 e na parábola x=(−2)²=4; para y=3, temos na reta x=3−2=1 e na parábola x=3²=9. Assim, a região é bem delimitada por esses quatro pontos e pelas curvas.

Passo 4

Com isso, configuramos a integral de área:
Área = integraly=-2^3 l[xdireita - xesquerdar] , dy = integraly=-2^3 l[y^2 - (y-2)r] , dyÁ
Executando a integral:
integral (y^2 - y + 2),dy = y^33 - y^22 + 2y
Avaliando de -2 a 3, obtemos:
l(3^33 - 3^22 + 2cdot 3r) - l((-2)^33 - (-2)^22 + 2cdot(-2)r) = l(9 - 92 + 6r) - l(-83 - 2 - 4r) = 1156

Passo 5

Sobre o esboço do gráfico: desenhe o eixo y, marque as retas horizontais y=−2 e y=3, desenhe a parábola de concavidade para a direita x=y^2 e a reta x=y-2, e sombreie a região entre elas.

Resposta

1156

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