Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas e esboce o gráfico.
e
Passo 1
Temos que achar a área da região limitada pelas curvas x=y², y−x=2, y=−2 e y=3. O tema é cálculo de área entre curvas e vamos precisar usar a fórmula da área como integral em relação a y, dada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações em função de x: da reta y−x=2 temos
, e já temos a parábola
. Vamos identificar qual é o limite esquerdo e qual é o direito, comparando y² e y−2 no intervalo de y entre -2 e 3. Note que a diferença
é sempre positiva, logo
Passo 3
Agora, encontrando os pontos de interseção com as horizontais y=−2 e y=3: para y=−2, temos na reta x=−2−2=−4 e na parábola x=(−2)²=4; para y=3, temos na reta x=3−2=1 e na parábola x=3²=9. Assim, a região é bem delimitada por esses quatro pontos e pelas curvas.
Passo 4
Com isso, configuramos a integral de área:
Executando a integral:
Avaliando de -2 a 3, obtemos:
Passo 5
Sobre o esboço do gráfico: desenhe o eixo y, marque as retas horizontais y=−2 e y=3, desenhe a parábola de concavidade para a direita
e a reta
, e sombreie a região entre elas.