Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas e esboce o gráfico.
y=ln x, y=0 e x=4;

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por y=ln x, y=0 e x=4. O conteúdo aqui é área sob a curva, então vamos usar integral definida de ln x.

Passo 2

Para identificar o intervalo de integração, igualamos ln x=0, o que dá x=1. Assim, a região está entre x=1 e x=4, e entre y=0 (reta horizontal) e y=ln x.

Passo 3

Montamos a integral da área como integral1^4(ln x-0),dx=integral1^4ln x,dx Para calcular, usamos a primitiva integralln x,dx = xln x - x + C.

Passo 4

Agora avaliamos nos limites:
l[xln x - xr]1^4 = (4ln4 - 4) - (1cdot0 - 1) = 4ln4 -4 +1 = 4ln4 -3
Como ln4 = 2ln2, isso fica 8ln2 - 3.

Passo 5

Para esboçar, desenhe o eixo x, a curva y=ln x, a reta y=0 e a reta vertical x=4. Sombreie a área entre x=1 e x=4 sob a curva y=ln x.

Resposta

8\ln2 - 3

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