Seja F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j, x<0, y<0 :
Se o item (a) for verdadeiro determine uma função potencial para F, caso o item (a) seja falso justifique a não existência da função potencial.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
vec F(x,y)=-yx^2+y^2, i + xx^2+y^2, j, definido em x<0,y<0, é conservativo (item (a)). Se for, achar uma função potencial varphi(x,y).

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais
P(x,y)=-tfracyx^2+y^2 e Q(x,y)=tfracxx^2+y^2, e verificar se
partial P/partial y = partial Q/partial x.
Ao fazer a derivada, obtemos em ambos os casos
-x^2+y^2(x^2+y^2)^2,
logo o rotor é nulo.

Passo 3

O domínio (x,y):x<0,y<0 é aberto e simplesmente conectado (é a região do terceiro quadrante), sem incluir pontos singulares. Assim, como o rotor é zero, o campo é conservativo e admite potencial.

Passo 4

Para achar a função potencial varphi(x,y), integramos P=varphix=-tfracyx^2+y^2 em relação a x:
varphi(x,y)=integral -yx^2+y^2,dx = -yintegraldxx^2+y^2 = -ycdot1yarctanl(yxr) + g(y) = arctanl(yxr) + g(y)

Passo 5

Derivando agora em relação a y:
varphiy = partialpartial yl[arctanl(tfracyxr)r] + g'(y) = xx^2+y^2 + g'(y)
Como isso deve ser igual a Q=tfracxx^2+y^2, segue g'(y)=0 e, portanto, g(y)=C constante.

Passo 6

Concluímos que o item (a) é verdadeiro (o campo é conservativo) e a função potencial, a menos de constante, é
varphi(x,y)=arctanl(tfracyxr)+C

Resposta

varphi(x,y)=arctanl(tfracyxr)+C

Exercícios relacionados