Seja
:
Se o item (a) for verdadeiro determine uma função potencial para
, caso o item (a) seja falso justifique a não existência da função potencial.
Se o item (a) for verdadeiro determine uma função potencial para
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
, definido em
, é conservativo (item (a)). Se for, achar uma função potencial
.
Passo 2
Precisamos calcular as derivadas parciais
e
, e verificar se
.
Ao fazer a derivada, obtemos em ambos os casos
Ao fazer a derivada, obtemos em ambos os casos
logo o rotor é nulo.
Passo 3
O domínio
é aberto e simplesmente conectado (é a região do terceiro quadrante), sem incluir pontos singulares. Assim, como o rotor é zero, o campo é conservativo e admite potencial.
Passo 4
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Passo 5
Derivando agora em relação a
:
Como isso deve ser igual a
, segue
e, portanto,
constante.
Passo 6
Concluímos que o item (a) é verdadeiro (o campo é conservativo) e a função potencial, a menos de constante, é