Estude a convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
(0.75) sumn=1^infty 1(n+3)(n+4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a série e descobrir se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries, especificamente convergência absoluta e condicional, e também utilizar algumas fórmulas matemáticas para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o trabalho. A série dada é:
0.75 sumn=1^infty 1(n+3)(n+4)
Podemos simplificar o termo geral utilizando frações parciais. Isso nos ajuda a decompor a fração em termos mais simples.

Passo 3

Aplicando frações parciais, temos:
1(n+3)(n+4) = An+3 + Bn+4
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(n+4) + B(n+3) para eliminar os denominadores:
1 = A(-4+4) + B(-4+3) implies 1 = 0 + B(-1) implies B = -1
Para encontrar os valores de 1 = A(-3+4) + B(-3+3) implies 1 = A(1) + 0 implies A = 1 e 1(n+3)(n+4) = 1n+3 - 1n+4 , podemos escolher valores de que simplificam a equação. Por exemplo, se :
E se :
Então, a decomposição é:

Passo 4

Agora, substituímos essa decomposição na série original:
0.75 sumn=1^infty ( 1n+3 - 1n+4 )
Isso resulta em uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos.

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
0.75 [ ( 14 - 15 ) + ( 15 - 16 ) + ( 16 - 17 ) + dots ]
Podemos ver que , , etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo de e o termo que vai se aproximando de zero conforme aumenta.

Passo 6

Portanto, a soma da série telescópica é:
0.75 ( 14 ) = 0.75 times 0.25 = 0.1875
Como a série soma a um valor finito, concluímos que ela converge.

Passo 7

Além disso, os termos da série são positivos e a série converge, então a convergência é absoluta. Não precisamos nos preocupar com a convergência condicional nesse caso.

Resposta

A série converge absolutamente e seu valor é 0.1875.

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