Estude a convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a série
e descobrir se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries, especificamente convergência absoluta e condicional, e também utilizar algumas fórmulas matemáticas para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o trabalho. A série dada é:
Podemos simplificar o termo geral
utilizando frações parciais. Isso nos ajuda a decompor a fração em termos mais simples.
Passo 3
Aplicando frações parciais, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Para encontrar os valores de
e
, podemos escolher valores de
que simplificam a equação. Por exemplo, se
:
E se
:
Então, a decomposição é:
Passo 4
Agora, substituímos essa decomposição na série original:
Isso resulta em uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos.
Passo 5
Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
Podemos ver que
,
, etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo de
e o termo que vai se aproximando de zero conforme
aumenta.
Passo 6
Portanto, a soma da série telescópica é:
Como a série soma a um valor finito, concluímos que ela converge.
Passo 7
Além disso, os termos da série são positivos e a série converge, então a convergência é absoluta. Não precisamos nos preocupar com a convergência condicional nesse caso.
Resposta
A série
converge absolutamente e seu valor é 0.1875.