Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas.
y=raizx, y=x^2, x=2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y=raizx, y=x^2, x=2
O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas usando integração definida.

Passo 2

Primeiro encontramos onde as curvas y=raizx e y=x^2 se cortam, resolvendo
x^2 = raizx Longrightarrow x^4 = x Longrightarrow x(x^3 - 1)=0
logo x=0 ou x=1. O ponto relevante de interseção no primeiro quadrante é (1,1).

Passo 3

Para montar o integral, determinamos quem é a curva de cima e de baixo entre x=1 e x=2. Em x=2 temos
raiz2approx1,414 e 2^2=4, logo para 1<= x<=2 vale
x^2 ;>;raizx
Assim, em cada fatia vertical o comprimento é l(x^2-raizxr).

Passo 4

A área procurada é
integral1^2l(x^2-raizxr),dx

Passo 5

Calculamos o integral:
integral x^2,dx = x^33, integral x^tfrac12,dx = 23x^tfrac32
Portanto
integral1^2l(x^2-raizxr),dx =[x^33-23x^tfrac32]1^2 =l(83-23cdot2raiz2r) -l(13-23r) =3-4raiz23

Resposta

A área da região é
3 - 4raiz23

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