Nos Exercicios 3 a 6, encontre um vetor x cuja imagem por T éb, em que T è dada por T(x)=A x, e determine se este x é único.
A=[rrr1 & -3 & 2 0 & 1 & -4 3 & -5 & -9], b=[r6 -7 -9]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um vetor xinR^3 tal que T(x)=b, isto é,
Ax=b,
onde
A= 1 & -3 & 2 0 & 1 & -4 3 & -5 & -9 , b=6-7-9
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss e verificação da unicidade via determinante.

Passo 2

Escrevendo o sistema Ax=b em coordenadas,
x1 - 3x2 + 2x3 = 6, x2 - 4x3 = -7, 3x1 - 5x2 - 9x3 = -9

Passo 3

Da segunda equação segue diretamente
x2 = -7 + 4x3

Passo 4

Substituindo x2 na primeira equação,
x1 - 3(-7 + 4x3) + 2x3 = 6 Longrightarrow x1 +21 -12x3 +2x3 = 6 Longrightarrow x1 = -15 + 10x3

Passo 5

Agora substituímos x1 e x2 na terceira equação:
3(-15+10x3) -5(-7+4x3) -9x3 = -9
-45 +30x3 +35 -20x3 -9x3 = -9 Longrightarrow -10 + x3 = -9 Longrightarrow x3 = 1

Passo 6

Voltando em x2 e x1,
x2 = -7 + 4cdot1 = -3, x1 = -15 + 10cdot1 = -5
Logo
x = -5-31

Passo 7

Para verificar a unicidade, basta notar que
det(A)=1cdotl(1cdot(-9)-(-4)cdot(-5)r) -(-3)cdotl(0cdot(-9)-(-4)cdot3r) +2cdotl(0cdot(-5)-1cdot3r) =1neq0,
ou seja, A é invertível e a solução é única.

Resposta

x=(-5,-3,1)^T, única solução.

Exercícios relacionados