Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas.
y=sen(pi x / 2), y=x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = sin!l(tfracpi x2r)
e
y = x^2 - 2x
O que vamos precisar é: (i) achar os pontos de interseção dessas curvas e (ii) integrar a diferença entre elas no intervalo determinado por esses pontos.

Passo 2

Para encontrar as interseções, resolvemos
sin!l(tfracpi x2r) ;=; x^2 - 2x
Observando que x=0 e x=2 satisfazem
sin(0)=0 e 0^2-2cdot0=0, bem como
sin(pi)=0 e 2^2-2cdot2=0, concluímos que os únicos pontos de interseção relevantes são
x=0 e x=2

Passo 3

Para decidir qual curva fica acima no intervalo [0,2], avaliamos em x=1:
sin(tfracpi2)=1 e 1^2-2cdot1=-1.
Logo
sin!l(tfracpi x2r);>;x^2-2x em [0,2],
e a área é
integral0^2l[sin!l(tfracpi x2r)-(x^2-2x)r],dx

Passo 4

Calculando
integral0^2sin!l(tfracpi x2r),dx = [ -2picos!l(tfracpi x2r) ]0^2 = -2pil(cospi-cos0r) = -2pil(-1-1r) = 4pi

Passo 5

Calculando
integral0^2(x^2-2x),dx = integral0^2x^2,dx - 2integral0^2x,dx = x^33|0^2 - 2cdotx^22|0^2 = 83-4 = -43

Passo 6

Somando os resultados, a área vale
4pi ;-;gl(-43gr) = 4pi+43 = 4,(3+pi)3pi

Resposta

A área da região é
boxed4pi+43 (ou;4(3+pi)3pi)

Exercícios relacionados