Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral-raiz4-x^2-y^2^raiz4-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2) d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede
integral-2^2integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2integral-raiz4-x^2-y^2^raiz4-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2),dz,dy,dx
que é a integral de ,x^2+y^2+z^2 sobre a esfera de raio 2. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com jacobiano
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
A região é todo o interior da esfera de raio 2, então
0<=rho<=2, 0<=phi<=pi, 0<=theta<=2pi
Além disso
x^2+y^2+z^2=rho^2

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral0^2piintegral0^piintegral0^2 rho^2;l(rho^2sinphir),drho,dphi,dtheta =integral0^2piintegral0^piintegral0^2rho^4sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Vamos calcular separadamente cada integral:
integral0^2rho^4,drho =rho^55|0^2 =325,
integral0^pisinphi,dphi =2,
integral0^2pidtheta =2pi
Multiplicando tudo:
325times2times2pi =128pi5

Resposta

128pi5

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