Nos Exercicios 3 a 6, encontre um vetor x cuja imagem por T éb, em que T è dada por T(x)=A x, e determine se este x é único.
A=[rrr1 & 0 & -2 -2 & 1 & 6 3 & -2 & -5], b=[r-1 7 -3]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar xinR^3 tal que
T(x)=Ax=b,
onde
A= 1 & 0 & -2 -2 & 1 & 6 3 & -2 & -5 , b=-17-3
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares e invertibilidade de matrizes. Vamos calcular o determinante de A para ver se a solução é única e depois usar eliminação para achar x.

Passo 2

Calculando o determinante de A:
det(A) =1det1&6-2&-5 +(-2)det-2&13&-2
=1l(1cdot(-5)-6cdot(-2)r) +(-2)l((-2)cdot(-2)-1cdot3r) =1(-5+12)+(-2)(4-3) =7-2 =5neq0
Como det(A)neq0, A é invertível e o sistema terá solução única.

Passo 3

Escrevendo o sistema linear
x1 -2x3 = -1, -2x1 + x2 +6x3 = 7, 3x1 -2x2 -5x3 = -3,
da primeira equação obtemos
x1 = -1 + 2x3
Substituindo na segunda:
-2(-1+2x3)+x2+6x3=7 implies x2+2x3=5 implies x2=5-2x3
Na terceira:
3(-1+2x3)-2x2-5x3=-3 implies -3+6x3-2x2-5x3=-3 implies x3-2x2=0
Agora substituímos x2=5-2x3:
x3-2(5-2x3)=0 implies x3-10+4x3=0 implies 5x3=10 implies x3=2
Logo
x2=5-2cdot2=1, x1=-1+2cdot2=3

Resposta

x=312
Essa solução é única, pois det(A)=5neq0.

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