Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas.
y=1-2 x^2, y=|x|

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = 1 - 2x^2
e
y = |x|
O conteúdo aqui é cálculo de área por integrais definidas, usando simetria do gráfico.

Passo 2

Precisamos encontrar os pontos de interseção entre 1-2x^2 e |x|. Fazemos caso a caso:
Para x>=0 temos |x|=x, então
1 - 2x^2 = x Longrightarrow 2x^2 + x - 1 = 0
as raízes são
x = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34,
dando x = tfrac12 (válido) e x=-1 (descartado no caso x>=0).
Para x<0 temos |x|=-x, então
1 - 2x^2 = -x Longrightarrow 2x^2 - x - 1 = 0
as raízes são
x = 1 pm raiz1 + 84 = 1 pm 34,
dando x = -tfrac12 (válido) e x=1 (descartado no caso x<0).
Logo as interseções ocorrem em x=-tfrac12 e x=tfrac12.

Passo 3

Como ambas as curvas são pares (simétricas em relação ao eixo y), a região é simétrica. Basta calcular a área para xin[0,tfrac12] e dobrar. Nesse intervalo, a curva superior é
ysup = 1 - 2x^2,
e a inferior é
yinf = x
A área total é
A = 2 integral0^1/2 l[(1 - 2x^2) - xr],dx

Passo 4

Vamos calcular a integral
integral0^1/2 (1 - x - 2x^2),dx
Temos
integral (1 - x - 2x^2),dx = x - x^22 - 2x^33,
então avaliando de 0 a tfrac12:
l[x - tfracx^22 - tfrac2x^33r]0^1/2 = 12 - 1/81 - 2,(1/8)3 = 12 - 18 - 112 = 12 - 3 - 224 = 724

Passo 5

Multiplicando por 2 para incluir a simetria:
A = 2 times 724 = 712

Resposta

A área da região é 712.

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