Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
O conteúdo aqui é cálculo de área por integrais definidas, usando simetria do gráfico.
Passo 2
Precisamos encontrar os pontos de interseção entre
e
. Fazemos caso a caso:
Para
temos
, então
as raízes são
dando
(válido) e
(descartado no caso
).
Para
temos
, então
as raízes são
dando
(válido) e
(descartado no caso
).
Logo as interseções ocorrem em
e
.
Passo 3
Como ambas as curvas são pares (simétricas em relação ao eixo
), a região é simétrica. Basta calcular a área para
e dobrar. Nesse intervalo, a curva superior é
e a inferior é
A área total é
Passo 4
Vamos calcular a integral
Temos
então avaliando de
a
:
Passo 5
Multiplicando por 2 para incluir a simetria:
Resposta
A área da região é
.