Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas. integral0^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 x y d z d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integraly=0^2integralx=-raiz4-y^2^raiz4-y^2integralz=raizx^2+y^2^2 x y , dz , dx , dy
usando coordenadas cilíndricas. Aqui estamos integrando a função f(x,y,z)=x y sobre a região
D=l(x,y,z) mid x^2+y^2<= 4,; y>= 0,; raizx^2+y^2 <= z <= 2r
Para resolver, precisamos:
1. Expressar (x,y,z) em cilindricas: x=rcostheta,; y=rsintheta,; z=z.
2. Determinar os limites de r,theta,z que descrevem D.
3. Transformar x y , dz , dx , dy em r- theta- z e integrar.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas:
  • x^2+y^2=r^2.
  • A condição y>=0 vira rsintheta>=0, ou seja thetain[0,pi].
  • O disco x^2+y^2<=4 vira 0<= r<=2.
  • A condição raizx^2+y^2<= z<=2 vira r<= z<=2.
Logo os limites são
0<=theta<=pi, 0<= r<=2, r<= z<=2

Passo 3

O elemento de volume em cilíndricas é dV = r,dr,dtheta,dz. E
x,y = (rcostheta)(rsintheta)=r^2costhetasintheta
Portanto o integrando x,y,dV fica
r^2costhetasintheta;times;r,dr,dtheta,dz = r^3costhetasintheta;dr,dtheta,dz

Passo 4

A integral tripla em cilíndricas é
integraltheta=0^piintegralr=0^2integralz=r^2 r^3costhetasintheta ,dz,dr,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em z:
integralz=r^2dz = 2 - r
Então a integral reduz a
integral0^piintegral0^2r^3(2-r)costhetasintheta ,dr,dtheta

Passo 6

Note que a parte que depende de theta se separa da parte que depende de r:
l(integral0^2r^3(2-r),drr) ;times; l(integral0^picosthetasintheta,dthetar)

Passo 7

Calculemos a integral angular:
integral0^picosthetasintheta,dtheta =12integral0^pisin(2theta),dtheta =12l[-tfrac12cos(2theta)r]0^pi =-14l(cos(2pi)-cos(0)r) =-14(1-1)=0
Como essa parte vale zero, toda a integral é zero.

Resposta

0

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