Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada .
E está abaixo do plano z=1+x+y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y=raizx, y=0 e x=1, rho(x, y, z)=2.

Passo 1

O sólido E está abaixo do plano z=1+x+y e acima da região do plano xy
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=raizx,
com densidade constante rho(x,y,z)=2.
Para encontrar a massa usamos a integral tripla
m=integral triplaErho,dV,
e para o centro de massa (bar x,bar y,bar z) usamos
bar x=1mintegral triplaEx,rho,dV, bar y=1mintegral triplaEy,rho,dV, bar z=1mintegral triplaEz,rho,dV

Passo 2

Cálculo da massa:
m =2integral duplaD!integralz=0^z=1+x+ydz,dA =2integral duplaD(1+x+y),dA =2integralx=0^1!integraly=0^raizx(1+x+y),dy,dx
Integramos primeiro em y:
integral0^raizx(1+x+y),dy =(1+x)raizx+x2
Então
m =2integral0^1l((1+x)raizx+tfracx2r)dx =2l(tfrac23+tfrac25+tfrac14r) =2cdot7960 =7930

Passo 3

Cálculo de bar x:
Myz =2integral duplaDx,(1+x+y),dA =2integral0^1!integral0^raizxx(1+x+y),dy,dx =2integral0^1l(x,(1+x)raizx+tfracx^22r)dx =2l(tfrac25+tfrac27+tfrac16r) =179105
Logo
bar x=Myzm =tfrac179105tfrac7930 =179105cdot3079 =358553

Passo 4

Cálculo de bar y:
Mxz =2integral duplaDy,(1+x+y),dA =2integral0^1!integral0^raizxl(tfracx2+tfracx^22+tfracx^3/23r)dy,dx =2l(tfrac14+tfrac16+tfrac215r) =1110
Portanto
bar y=Mxzm =tfrac1110tfrac7930 =1110cdot3079 =3379 =231553

Passo 5

Cálculo de bar z:
Mxy =2integral duplaD!integral0^1+x+yz,dz,dA =integral duplaD(1+x+y)^2,dA =integral0^1!integral0^raizxl[x^1/2+tfrac73x^3/2+x+x^2+x^5/2r]dy,dx =571210
Assim
bar z=Mxym =tfrac571210tfrac7930 =571210cdot3079 =571553

Resposta

Massa: m=7930
Centro de massa:
l(bar x,bar y,bar zr) =l(tfrac358553,;tfrac231553,;tfrac571553r)

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