Encontre a area da regiao limitada pelas curvas:
y=2-x^wed>= 2
y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas $ y = 2 - x^2 $ e $ y = x $. Esse tipo de problema está na matemática de cálculo integral, onde usamos integrais para calcular áreas entre curvas. Para isso, vamos precisar descobrir onde as curvas se cruzam e, depois, integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso significa resolver a equação $ 2 - x^2 = x $.

Passo 3

Para resolver $ 2 - x^2 = x $, vamos rearranjar a equação:
2 - x^2 = x
Multiplicando todos os lados por -1 para facilitar:
-x^2 - x + 2 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -2 $. Calculando o discriminante:
a = 1

Passo 5

Então, as soluções para $ x $ são:
x
Isso nos dá duas raízes:
x = -1 pm raiz92 = -1 pm 32

Passo 6

Portanto, as curvas se interceptam nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 1 $. Esses serão os limites de integração para calcular a área.

Passo 7

Agora, precisamos determinar qual das funções está por cima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor entre -2 e 1, por exemplo, $ x = 0 $:
x = 0
Como $ 2 > 0 $, a função $ y = 2 - x^2 $ está acima da função $ y = x $ nesse intervalo.

Passo 8

A área $ A $ entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções, da seguinte forma:
A
Simplificando a expressão dentro da integral:
A = integral-2^1 ( (2 - x^2) - x ) , dx

Passo 9

Vamos calcular a integral:
integral (2 - x^2 - x) , dx = 2x - x^33 - x^22 + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para o cálculo da área definida.

Passo 10

Agora, avaliamos a integral nos limites de -2 a 1:
A = [ 2x - x^33 - x^22 ]-2^1
Primeiro, calculamos para $ x = 1 $:
x = 1
Em seguida, para $ x = -2 $:
2(1) - 1^33 - 1^22 = 2 - 13 - 12 = 126 - 26 - 36 = 76

Passo 11

Agora, subtraímos os valores obtidos:
A = 76 - ( -103 ) = 76 + 103 = 76 + 206 = 276 = 92

Resposta

A área da região limitada pelas curvas $ y = 2 - x^2 $ e $ y = x $ é $ \frac{9}{2} $ unidades quadradas.

Exercícios relacionados