Encontre a área da região limitada pelas curvas y=x^2-2 x e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x² – 2x e y = 0. Isso envolve o conteúdo de integrais definidas para cálculo de áreas entre curvas; vamos precisar encontrar os pontos de interseção, determinar qual função está acima da outra e então integrar a diferença.

Passo 2

Para achar onde y = x² – 2x intercepta y = 0, resolvemos x² – 2x = 0, ou seja x(x – 2) = 0, de onde vêm os pontos x = 0 e x = 2.

Passo 3

No intervalo de 0 a 2, a parábola y = x² – 2x é negativa (abaixo do eixo x), enquanto y = 0 está acima. Logo, a área é dada por ∫(y_top – y_bot) dx = ∫(0 – (x² – 2x)) dx.

Passo 4

Montamos então a integral da área:
A = integral0^2l(0 - l(x^2 - 2xr)r),dx = integral0^2(2x - x^2),dx

Passo 5

Agora basta calcular: seja F(x) = ∫(2x – x²) dx = x² – x³/3. Avaliando de 0 a 2, temos F(2) – F(0) = (4 – 8/3) – 0 = 12/3 – 8/3 = 4/3.

Resposta

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