Encontre a área da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = x. O assunto é cálculo de integrais definidas para área entre curvas. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção e depois montar e calcular a integral da diferença entre as funções.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção: igualamos as duas expressões de y:
x^2 = x
Isso dá x^2 - x = 0, ou seja, x(x - 1) = 0. Logo, as interseções ocorrem em x = 0 e x = 1.

Passo 3

Identificar qual curva está acima no intervalo [0,1]: para um valor qualquer, por exemplo x = 0,5, temos x = 0,5 e x^2 = 0,25. Assim, y = x fica acima de y = x^2 em todo o intervalo de x=0 até x=1.

Passo 4

Montar a integral para a área: a área A é dada por
A = integral0^1 l(x - x^2r),dx

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
A = integral0^1 x,dx - integral0^1 x^2,dx = l[tfracx^22r]0^1 - l[tfracx^33r]0^1 = l(tfrac1^22 - 0r) - l(tfrac1^33 - 0r) = tfrac12 - tfrac13 = tfrac16

Resposta

A área da região é tfrac16.

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