Encontre os pontos na curva y=x^3-3 x^2 onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos da curva y = x^3 - 3x^2 onde a reta tangente é horizontal. Isso envolve derivadas: sabemos que a inclinação da reta tangente em um ponto é dada por y', e uma reta tangente é horizontal quando y' = 0.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y = x^3 - 3x^2. Usando as regras de potência, temos:
y' = ddxl(x^3r) - ddxl(3x^2r) = 3x^2 - 6x

Passo 3

Agora impomos a condição de tangente horizontal, ou seja, resolvemos y' = 0:
3x^2 - 6x = 0 Longrightarrow 3x(x - 2) = 0 Longrightarrow x = 0 ou x = 2

Passo 4

Com essas abscissas, encontramos as ordenadas substituindo na equação da curva: para x=0 temos y = 0^3 - 3cdot0^2 = 0; para x=2 temos y = 2^3 - 3cdot2^2 = 8 - 12 = -4.

Resposta

Os pontos são (0, 0) e (2, −4).

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