Determine as assíntotas verticais e horizontais da função f(x)=fracxx-1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas verticais e horizontais da função f(x)=dfracxx-1. O conteúdo envolvido são assíntotas de funções racionais, e vamos precisar usar limites laterais para assíntotas verticais e limites no infinito para assíntotas horizontais.

Passo 2

Para encontrar a assíntota vertical, primeiro vemos que o domínio exige x-1neq0, ou seja, xneq1. Então suspeitamos de uma assíntota em x=1. Para confirmar, calculamos os limites laterais:
limxto1^-f(x)=limxto1^-xx-1=-infty
limxto1^+f(x)=limxto1^+xx-1=+infty
Como em ambos os lados a função tende a infinito (positivo ou negativo), há de fato uma assíntota vertical em x=1.

Passo 3

Para achar a assíntota horizontal, examinamos o comportamento de f(x) quando x vai para pminfty. Podemos dividir numerador e denominador por x:
f(x)=xx-1=xl(1r)xl(1-1/xr)=11-1/x
Quando xtopminfty, temos 1/xto0, então
limxtopminftyf(x)=11-0=1
Logo existe uma assíntota horizontal y=1.

Resposta

Assíntota vertical: x = 1. Assíntota horizontal: y = 1.

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