Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
f(x)=(sin x-x^2)^2(sec x-raizx)(2-3 x^4)(x-ln x)^3

Passo 1

Temos a função f(x)=(sin x - x^2)^2(sec x - raizx)(2-3x^4)(x-ln x)^3. O assunto é diferenciação logarítmica, e vamos usar as propriedades de logaritmo (produto, quociente e potência) além das derivadas de funções elementares (seno, secante e raiz).

Passo 2

Definimos y=f(x) e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados. Usando ln(ab)=ln a+ln b, ln(a/b)=ln a-ln b e ln(a^k)=kln a, obtemos:
[\n\ln y = 2\ln(\sin x - x^2) + \ln(\sec x - \sqrt{x}) - \ln(2-3x^4) - 3\ln(x - \ln x).\n]

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, ddxln y=y'y. No lado direito, aplicamos regra da cadeia em cada termo e chegamos a:
[\n\frac{y’}{y} = 2\frac{\cos x - 2x}{\sin x - x^2} + \frac{\sec x\tan x - \tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sec x - \sqrt{x}} + \frac{12x3}{2-3x4} - 3\frac{x-1}{x(x - \ln x)}.\n]

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y (que é f(x)) para isolar y' e substituímos y=f(x). Assim obtemos:
[\nf’(x)=f(x)\Bigl[2\frac{\cos x - 2x}{\sin x - x^2}+\frac{\sec x\tan x-\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sec x-\sqrt{x}}+\frac{12x3}{2-3x4}-3\frac{x-1}{x(x-\ln x)}\Bigr].\n]

Resposta

[\nf’(x)=\frac{(\sin x - x2)2(\sec x - \sqrt{x})}{(2-3x^4)(x - \ln x)^3}\Bigl[2\frac{\cos x - 2x}{\sin x - x^2}+\frac{\sec x\tan x-\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sec x-\sqrt{x}}+\frac{12x3}{2-3x4}-3\frac{x-1}{x(x-\ln x)}\Bigr]]

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