Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
Passo 1
Temos a função
. O assunto é diferenciação logarítmica, e vamos usar as propriedades de logaritmo (produto, quociente e potência) além das derivadas de funções elementares (seno, secante e raiz).
Passo 2
Definimos
e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados. Usando
,
e
, obtemos:
[\n\ln y = 2\ln(\sin x - x^2) + \ln(\sec x - \sqrt{x}) - \ln(2-3x^4) - 3\ln(x - \ln x).\n]
[\n\ln y = 2\ln(\sin x - x^2) + \ln(\sec x - \sqrt{x}) - \ln(2-3x^4) - 3\ln(x - \ln x).\n]
Passo 3
Derivamos implicitamente em relação a
. No lado esquerdo,
. No lado direito, aplicamos regra da cadeia em cada termo e chegamos a:
[\n\frac{y’}{y} = 2\frac{\cos x - 2x}{\sin x - x^2} + \frac{\sec x\tan x - \tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sec x - \sqrt{x}} + \frac{12x3}{2-3x4} - 3\frac{x-1}{x(x - \ln x)}.\n]
[\n\frac{y’}{y} = 2\frac{\cos x - 2x}{\sin x - x^2} + \frac{\sec x\tan x - \tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sec x - \sqrt{x}} + \frac{12x3}{2-3x4} - 3\frac{x-1}{x(x - \ln x)}.\n]
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
(que é
) para isolar
e substituímos
. Assim obtemos:
[\nf’(x)=f(x)\Bigl[2\frac{\cos x - 2x}{\sin x - x^2}+\frac{\sec x\tan x-\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sec x-\sqrt{x}}+\frac{12x3}{2-3x4}-3\frac{x-1}{x(x-\ln x)}\Bigr].\n]
[\nf’(x)=f(x)\Bigl[2\frac{\cos x - 2x}{\sin x - x^2}+\frac{\sec x\tan x-\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sec x-\sqrt{x}}+\frac{12x3}{2-3x4}-3\frac{x-1}{x(x-\ln x)}\Bigr].\n]
Resposta
[\nf’(x)=\frac{(\sin x - x2)2(\sec x - \sqrt{x})}{(2-3x^4)(x - \ln x)^3}\Bigl[2\frac{\cos x - 2x}{\sin x - x^2}+\frac{\sec x\tan x-\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sec x-\sqrt{x}}+\frac{12x3}{2-3x4}-3\frac{x-1}{x(x-\ln x)}\Bigr]]