Encontre dy/dx.
y=(ln x)^(x^2-1)

Passo 1

Neste exercício, queremos derivar a função y = (ln x){(x2 - 1)}. O conteúdo envolve uma potência com base e expoente variáveis, e para isso usamos diferenciação logarítmica.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para facilitar a derivação:
ln y = (x^2 - 1)ln(ln x)

Passo 3

Agora derivamos implicitamente. No lado esquerdo fica y’/y. No direito, aplicamos a regra do produto entre (x^2 - 1) e ln(ln x). A derivada de x^2 - 1 é 2x, e de ln(ln x) é 1/(ln x)\cdot1/x. Logo obtemos:
y'y = 2x,ln(ln x) + (x^2 - 1)1xln x
Multiplicando ambos os lados por y e lembrando que y = (ln x){(x2 - 1)}, chegamos à expressão da derivada.

Resposta

dydx = (ln x)^(x^2 - 1)(2xln(ln x) + x^2 - 1xln x)

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