[É só imitar o roteiro da Seção 4.5, pag. 109, das Notas de Aula; ou o texto Questões da Lista 5, no moodlemat] A equação linear
é conhecida como equação de Euler (ou de Euler-Cauchy), onde
e
são constantes dadas. Para encontrar uma base de soluções, use
e determine os valores de
a partir da equação
; verifique que se
, uma base de soluções é
, e se
, uma base é
; se
e
,
, uma base é
. (Ou suponha
ou use
.) Determine uma solução geral nos seguintes casos:
(a)
;
(a)
Passo 1
A gente está olhando para a equação de Euler–Cauchy
. Para esse tipo de equação, a ideia é tentar uma solução do tipo
e usar a equação característica
.
Passo 2
Aqui temos
e
. Substituindo na característica, fica:
Passo 3
Calculemos o discriminante:
Como
, as raízes serão reais e distintas.
Passo 4
As raízes vêm de
portanto
e
.
Passo 5
Com raízes reais distintas, a base de soluções é
.