[É só imitar o roteiro da Seção 4.5, pag. 109, das Notas de Aula; ou o texto Questões da Lista 5, no moodlemat] A equação linear x^2 y^prime prime+a x y^prime+b y=0 é conhecida como equação de Euler (ou de Euler-Cauchy), onde a e b são constantes dadas. Para encontrar uma base de soluções, use y(x)=x^m e determine os valores de m a partir da equação m^2+(a-1) m+b=0; verifique que se De0, uma base de soluções é x^m1, x^m2, e se De, uma base é x^m1,(ln x) x^m1; se De e m1=alpha+i beta,
m2=alpha-i beta, uma base é x^alpha cos (beta ln x), x^alpha sen(beta ln x). (Ou suponha x>0 ou use |x|.) Determine uma solução geral nos seguintes casos:
(a) x^2 y^prime prime+2 x y^prime-2 y=0;

Passo 1

A gente está olhando para a equação de Euler–Cauchy x^2y'' + 2x y' - 2y = 0. Para esse tipo de equação, a ideia é tentar uma solução do tipo y = x^m e usar a equação característica m^2 + (a-1)m + b = 0.

Passo 2

Aqui temos a = 2 e b = -2. Substituindo na característica, fica:
m^2 + (2-1)m - 2 = 0

Passo 3

Calculemos o discriminante:
De 0
Como De 0, as raízes serão reais e distintas.

Passo 4

As raízes vêm de
m1,2 = -1 pm raiz92 = -1 pm 32,
portanto m1 = 1 e m2 = -2.

Passo 5

Com raízes reais distintas, a base de soluções é x^m1, x^m2 = x, x^-2.

Resposta

y(x) = C1 x + C2 x^-2

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