[É só imitar o roteiro da Seção 4.5, pag. 109, das Notas de Aula; ou o texto Questões da Lista 5, no moodlemat] A equação linear
é conhecida como equação de Euler (ou de Euler-Cauchy), onde
e
são constantes dadas. Para encontrar uma base de soluções, use
e determine os valores de
a partir da equação
; verifique que se
, uma base de soluções é
, e se
, uma base é
; se
e
,
, uma base é
. (Ou suponha
ou use
.) Determine uma solução geral nos seguintes casos:
(b)
(b)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a equação de Euler–Cauchy no item (b)
com constantes
Passo 2
Assumimos
. Então derivamos:
Agora vamos substituir essas expressões na equação original.
Passo 3
Substituindo na equação de Euler, obtemos:
Isso se simplifica a
Logo a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo
temos as raízes complexas
Escrevendo em termos de
Passo 5
Para raízes complexas de uma equação de Euler, a solução geral é
Substituindo