[É só imitar o roteiro da Seção 4.5, pag. 109, das Notas de Aula; ou o texto Questões da Lista 5, no moodlemat] A equação linear x^2 y^prime prime+a x y^prime+b y=0 é conhecida como equação de Euler (ou de Euler-Cauchy), onde a e b são constantes dadas. Para encontrar uma base de soluções, use y(x)=x^m e determine os valores de m a partir da equação m^2+(a-1) m+b=0; verifique que se De0, uma base de soluções é x^m1, x^m2, e se De, uma base é x^m1,(ln x) x^m1; se De e m1=alpha+i beta,
m2=alpha-i beta, uma base é x^alpha cos (beta ln x), x^alpha sen(beta ln x). (Ou suponha x>0 ou use |x|.) Determine uma solução geral nos seguintes casos:
(b) x^2 y^prime prime+x y^prime+9 y=0 ;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação de Euler–Cauchy no item (b)
x^2y''+xy'+9y=0
com constantes a=1 e b=9. O objetivo é encontrar a solução geral usando a ansatz y=x^m.

Passo 2

Assumimos y=x^m. Então derivamos:
y'=m x^m-1,
y''=m(m-1)x^m-2
Agora vamos substituir essas expressões na equação original.

Passo 3

Substituindo na equação de Euler, obtemos:
x^2l(m(m-1)x^m-2r)+xl(m x^m-1r)+9x^m=0
Isso se simplifica a
l(m(m-1)+m+9r)x^m=(m^2+9)x^m=0
Logo a equação característica é:
m^2+9=0

Passo 4

Resolvendo m^2+9=0 temos as raízes complexas
m=pm3i
Escrevendo em termos de alpha e beta, temos alpha=0 e beta=3, pois
m=0pm3i

Passo 5

Para raízes complexas de uma equação de Euler, a solução geral é
y=x^alphal(C1cos(betaln x)+C2sin(betaln x)r)
Substituindo alpha=0 e beta=3, obtemos a forma final da solução.

Passo 6

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