(a) Encontre a área da região limitada pela hipérbole
e a reta
.
(b) Encontre a área da região limitada pela hipérbole
e a reta
, e compare com o valor obtido no item anterior.
(b) Encontre a área da região limitada pela hipérbole
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede duas áreas:
- (a) a área da região limitada pela hipérbole e pela reta
; - (b) a área da região limitada pela hipérbole e pela reta
, e comparar esse valor com o do item (a).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação da curva é
. - As retas consideradas são
e . - A hipérbole é simétrica em relação ao eixo
(simetria ) e também em relação ao eixo (simetria ), o que será útil para comparação das áreas.
Passo 2
Colocar a equação da hipérbole em forma explícita para
. Divido a equação por
:
Isolando
a partir de
:
Portanto as duas ramificações (superior e inferior) são
Note que a hipérbole tem vértices em
(quando
), e para ter
real precisamos de
.
Passo 3
Interpretação geométrica da região limitada pela hipérbole e pela reta
.
A reta
intercepta a hipérbole em dois pontos simétricos cuja ordenada é
A região limitada pela hipérbole e por
é o “gomo” fechado formado pela porção da hipérbole entre o vértice direito
e os dois pontos de interseção com
, mais o segmento vertical da reta
que liga esses dois pontos. Essa região é simétrica em relação ao eixo
, então podemos calcular a área integrando a metade superior e multiplicando por
.
Fórmula usada (área entre curvas): se a fronteira superior é
e a inferior é
, então a área entre elas de
a
é
Aqui
e
, logo
. O intervalo de
é de
(vértice) até
(reta), portanto a área do item (a) é
Passo 4
avaliar a integral
.
Vou apresentar uma antiderivada conhecida e mostrar rapidamente como obtê-la por uma substituição hiperbólica (que é bem direta para expressões
). Considere
. Então:
Substituindo na integral:
Usando
obtemos
Agora voltar a
. Como
temos
e
. Então
Também
, e a identidade
dá
Portanto uma antiderivada é
(Observação: essa forma difere da forma “clássica” por uma constante, pois também se pode escrever
sem o
, que só muda a constante de integração.)
Passo 5
Avaliar
usando a antiderivada encontrada.
A antiderivada
pode ser tomada como
Então
Calcule
:
Calcule
:
Portanto
Passo 6
Voltar à área do item (a):
Passo 7
Área do item (b) e comparação.
A reta
intercepta a hipérbole nos pontos
. A região limitada pela hipérbole e por
é o “gomo” análogo à esquerda, entre
e o vértice esquerdo
. Pela simetria da hipérbole em relação ao eixo
(substituir
por
deixa a equação inalterada), essa região tem exatamente a mesma forma e a mesma área que a região do item (a). Portanto
Resposta
(a)
(b)