(a) Encontre a área da região limitada pela hipérbole 9 x^{2}-4 y^{2}=36 e a reta x=3.
(b) Encontre a área da região limitada pela hipérbole 9 x^{2}-4 y^{2}=36 e a reta x=-3, e compare com o valor obtido no item anterior.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole 9x^{2}-4y^{2}=36 e pede duas áreas:
  • (a) a área da região limitada pela hipérbole e pela reta x=3;
  • (b) a área da região limitada pela hipérbole e pela reta x=-3, e comparar esse valor com o do item (a).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação da curva é 9x^{2}-4y^{2}=36.
  • As retas consideradas são x=3 e x=-3.
  • A hipérbole é simétrica em relação ao eixo x (simetria y\mapsto -y) e também em relação ao eixo y (simetria x\mapsto -x), o que será útil para comparação das áreas.

Passo 2

Colocar a equação da hipérbole em forma explícita para y. Divido a equação por 36:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1.
Isolando y^{2} a partir de 9x^{2}-4y^{2}=36:
4y^{2}=9x^{2}-36 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{9x^{2}-36}{4}=\frac{9}{4}(x^{2}-4).
Portanto as duas ramificações (superior e inferior) são
y=\pm \frac{3}{2}\sqrt{x^{2}-4}.
Note que a hipérbole tem vértices em x=\pm 2 (quando y=0), e para ter y real precisamos de |x|\ge 2.

Passo 3

Interpretação geométrica da região limitada pela hipérbole e pela reta x=3.
A reta x=3 intercepta a hipérbole em dois pontos simétricos cuja ordenada é
y=\pm \frac{3}{2}\sqrt{3^{2}-4}=\pm \frac{3}{2}\sqrt{5}=\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}.
A região limitada pela hipérbole e por x=3 é o “gomo” fechado formado pela porção da hipérbole entre o vértice direito (2,0) e os dois pontos de interseção com x=3, mais o segmento vertical da reta x=3 que liga esses dois pontos. Essa região é simétrica em relação ao eixo x, então podemos calcular a área integrando a metade superior e multiplicando por 2.
Fórmula usada (área entre curvas): se a fronteira superior é y_{top}(x) e a inferior é y_{bot}(x), então a área entre elas de x=a a x=b é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{top}(x)-y_{bot}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui y_{top}=\frac{3}{2}\sqrt{x^{2}-4} e y_{bot}=-\frac{3}{2}\sqrt{x^{2}-4}, logo y_{top}-y_{bot}=3\sqrt{x^{2}-4}. O intervalo de x é de x=2 (vértice) até x=3 (reta), portanto a área do item (a) é
A_{a}= \int_{2}^{3} 3\sqrt{x^{2}-4}\,dx = 3\int_{2}^{3}\sqrt{x^{2}-4}\,dx.

Passo 4

avaliar a integral \displaystyle I=\int \sqrt{x^{2}-4}\,dx.
Vou apresentar uma antiderivada conhecida e mostrar rapidamente como obtê-la por uma substituição hiperbólica (que é bem direta para expressões x^{2}-a^{2}). Considere x=2\operatorname{cosh} u. Então:
dx=2\operatorname{sinh} u\,du,\qquad \sqrt{x^{2}-4}=\sqrt{4\operatorname{cosh}^{2}u-4}=2\operatorname{sinh} u.
Substituindo na integral:
\int \sqrt{x^{2}-4}\,dx=\int (2\operatorname{sinh} u)(2\operatorname{sinh} u\,du)=4\int \operatorname{sinh}^{2}u\,du.
Usando \operatorname{sinh}^{2}u=\tfrac{1}{2}(\operatorname{cosh} 2u-1) obtemos
4\int \operatorname{sinh}^{2}u\,du =4\int \tfrac{1}{2}(\operatorname{cosh} 2u-1)\,du=2\int(\operatorname{cosh} 2u-1)\,du =2\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} 2u - u\right)+C=\operatorname{sinh} 2u -2u +C.
Agora voltar a x. Como x=2\operatorname{cosh} u temos \operatorname{cosh} u = x/2 e \operatorname{sinh} u=\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}u-1}=\sqrt{(x/2)^{2}-1}=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}. Então
\operatorname{sinh} 2u = 2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u = 2\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\cdot\frac{x}{2}=\frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{2}.
Também u=\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{x}{2}\right), e a identidade \operatorname{arcosh} z=\ln\!\bigl(z+\sqrt{z^{2}-1}\bigr)
u=\ln\!\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right).
Portanto uma antiderivada é
\int \sqrt{x^{2}-4}\,dx=\frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{2}-2\ln\!\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right)+C.
(Observação: essa forma difere da forma “clássica” por uma constante, pois também se pode escrever -2\ln(x+\sqrt{x^{2}-4}) sem o /2, que só muda a constante de integração.)

Passo 5

Avaliar \displaystyle I=\int_{2}^{3}\sqrt{x^{2}-4}\,dx usando a antiderivada encontrada.
A antiderivada F(x) pode ser tomada como
F(x)=\frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{2}-2\ln\!\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right).
Então
I=F(3)-F(2).
Calcule F(3):
\sqrt{3^{2}-4}=\sqrt{5},\qquad F(3)=\frac{3\sqrt{5}}{2}-2\ln\!\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right).
Calcule F(2):
\sqrt{2^{2}-4}=0,\qquad F(2)=\frac{2\cdot 0}{2}-2\ln\!\left(\frac{2+0}{2}\right)= -2\ln 1 =0.
Portanto
I= \frac{3\sqrt{5}}{2}-2\ln\!\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right).

Passo 6

Voltar à área do item (a):
A_{a}=3I=3\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}-2\ln\!\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\right) =\frac{9\sqrt{5}}{2}-6\ln\!\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right).

Passo 7

Área do item (b) e comparação.
A reta x=-3 intercepta a hipérbole nos pontos \bigl(-3,\pm\frac{3\sqrt{5}}{2}\bigr). A região limitada pela hipérbole e por x=-3 é o “gomo” análogo à esquerda, entre x=-3 e o vértice esquerdo x=-2. Pela simetria da hipérbole em relação ao eixo y (substituir x por -x deixa a equação inalterada), essa região tem exatamente a mesma forma e a mesma área que a região do item (a). Portanto
A_{b}=A_{a}=\frac{9\sqrt{5}}{2}-6\ln\!\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{2}-6\ln\!\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)
(b) \displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{2}-6\ln\!\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)

Exercícios relacionados