Seja
.
(a) Encontre a primitiva de
.
(b) Determine a constante de integração, sabendo que
.
(a) Encontre a primitiva de
(b) Determine a constante de integração, sabendo que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) encontrar uma primitiva
(ou seja, qualquer antiderivada de ); - (b) determinar a constante de integração sabendo que
.
Informações relevantes que temos: a função é produto de uma potência
por
. Não há outras condições além do ponto para fixar a constante.
Passo 2
Idéia do método (explicando como pensar nisso na prova): quando a integranda é uma função composta do tipo
multiplicada pela derivada desse “algo”, o caminho natural é a substituição (trocar a “parte interna” por uma nova variável). Aqui a “parte interna” óbvia é
, porque sua derivada traz um fator
que já aparece multiplicando. A substituição é:
Agora vamos calcular
. Diferenciando
em relação a
:
Isso significa que
Esse é o truque: transformar
em algo com
para ficar tudo em função de
.
Passo 3
Fazer a substituição na integral. Começamos com
Usando
e
, obtemos uma integral em
:
Passo 4
Aplicar a regra de potência para integrais (a “regra básica”): para qualquer real
,
Aqui
, portanto
. Assim
Voltando ao fator
:
Passo 5
Voltar à variável
substituindo
. Assim obtemos a antiderivada geral:
É sempre bom checar: derivando essa expressão usando a regra da cadeia, recupera-se
— isso confirma que a primitiva está correta.
Passo 6
Agora usamos a condição para achar
. Primeiro calcule
no ponto
.
Note que
portanto
Então
Substituindo em
e usando
:
Isso dá
Passo 7
Conclusão: a primitiva geral e a constante determinada são as expressões abaixo. Força — você já tem a primitiva e a parte aritmética não é complicada; fez certinho até aqui!