Seja h(t)=\left(1+e^{-2 t}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-2 t}.
(a) Encontre a primitiva de h(t), H(t)=\int h(t) d t.
(b) Determine a constante de integração, sabendo que H\left(\ln \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)=-7.

Passo 1

O enunciado dá a função
h(t)=\left(1+e^{-2 t}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-2 t}
e pede duas coisas:
  • (a) encontrar uma primitiva H(t)=\displaystyle\int h(t)\,dt (ou seja, qualquer antiderivada de h);
  • (b) determinar a constante de integração sabendo que H\!\left(\ln\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)=-7.
Informações relevantes que temos: a função é produto de uma potência \left(1+e^{-2t}\right)^{3/2} por e^{-2t}. Não há outras condições além do ponto para fixar a constante.

Passo 2

Idéia do método (explicando como pensar nisso na prova): quando a integranda é uma função composta do tipo (\text{algo})^{\alpha} multiplicada pela derivada desse “algo”, o caminho natural é a substituição (trocar a “parte interna” por uma nova variável). Aqui a “parte interna” óbvia é 1+e^{-2t}, porque sua derivada traz um fator e^{-2t} que já aparece multiplicando. A substituição é:
u = 1+e^{-2t}.
Agora vamos calcular du. Diferenciando u em relação a t:
\frac{du}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(1+e^{-2t}\bigr) = -2 e^{-2t}.
Isso significa que
e^{-2t}\,dt = -\frac{1}{2}\,du.
Esse é o truque: transformar e^{-2t}\,dt em algo com du para ficar tudo em função de u.

Passo 3

Fazer a substituição na integral. Começamos com
H(t)=\int h(t)\,dt=\int \left(1+e^{-2t}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-2t}\,dt.
Usando u=1+e^{-2t} e e^{-2t}\,dt=-\dfrac{1}{2}du, obtemos uma integral em u:
H(t)=\int u^{\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = -\frac{1}{2}\int u^{\frac{3}{2}}\,du.

Passo 4

Aplicar a regra de potência para integrais (a “regra básica”): para qualquer real n\neq -1,
\int u^n\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\dfrac{3}{2}, portanto n+1=\dfrac{5}{2}. Assim
\int u^{\frac{3}{2}}\,du=\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}\,u^{\frac{5}{2}}.
Voltando ao fator -\dfrac{1}{2}:
H(t) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\,u^{\frac{5}{2}} + C = -\frac{1}{5}\,u^{\frac{5}{2}} + C.

Passo 5

Voltar à variável t substituindo u=1+e^{-2t}. Assim obtemos a antiderivada geral:
H(t) = -\frac{1}{5}\left(1+e^{-2t}\right)^{\frac{5}{2}} + C.
É sempre bom checar: derivando essa expressão usando a regra da cadeia, recupera-se h(t) — isso confirma que a primitiva está correta.

Passo 6

Agora usamos a condição para achar C. Primeiro calcule e^{-2t} no ponto t=\ln\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right).
Note que
e^{t}=\frac{\sqrt{3}}{3}=3^{-\frac{1}{2}},
portanto
e^{-2t}=(e^{t})^{-2}=\bigl(3^{-\frac{1}{2}}\bigr)^{-2}=3.
Então
1+e^{-2t}=1+3=4, \qquad \left(1+e^{-2t}\right)^{\frac{5}{2}}=4^{\frac{5}{2}}=32.
Substituindo em H(t) e usando H\bigl(\ln(\sqrt{3}/3)\bigr)=-7:
-\frac{1}{5}\cdot 32 + C = -7.
Isso dá
-\frac{32}{5}+C=-7 \quad\Rightarrow\quad C=-7+\frac{32}{5}=-\frac{35}{5}+\frac{32}{5}=-\frac{3}{5}.

Passo 7

Conclusão: a primitiva geral e a constante determinada são as expressões abaixo. Força — você já tem a primitiva e a parte aritmética não é complicada; fez certinho até aqui!

Resposta

H(t)=-\dfrac{1}{5}\left(1+e^{-2t}\right)^{\frac{5}{2}}+C.
C=-\dfrac{3}{5}

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